[論文レビュー] Examples of Feigenbaum Julia sets with small Hausdorff dimension

Artur Avila, Mikhail Lyubich|ArXiv.org|Jul 5, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、実数パラメータ $c_p \to -2$ を持つ無限再帰的である2次多項式 $F_c: z \mapsto z^2 + c$ の例を構成し、そのジュリア集合のハウスドルフ次元が1に任意に近づくことを示す。著者らは、再帰的マップのポincare級数に対する新規な「再帰的2次推定」を用いて、関連する再帰的固定点の臨界指数 $\delta_{\mathrm{cr}}$ が1に近づくことを証明し、これによりジュリア集合の次元が1に近づくことが示される。

ABSTRACT

We give examples of infinitely renormalizable quadratic polynomials $F_c: z\maps to z^2+c$ with stationary combinatorics whose Julia sets have Hausdorff dimension arbitrar y close to 1. The combinatorics of the renormalization involved is close to the Chebyshev one . The argument is based upon a new tool, a ``Recursive Quadratic Estimate'' for the Poincaré series of an infinitely re normalizable map.

研究の動機と目的

• フェイゲンバック・ジュリア集合のハウスドルフ次元が2未満である可能性を解明すること。
• このような集合のハウスドルフ次元が1に任意に近づくことができることを示し、それが常に2であるという予想に挑戦すること。
• 無限再帰的マップの臨界指数をバウンドするための新規な解析的道具「再帰的2次推定」を確立すること。
• これらのマップのジュリア集合がゼロ面積を持つことを証明し、次元が小さいにもかかわらずそのフラクタル構造を確認すること。

提案手法

• 無限再帰的マップのポincare級数に対する「再帰的2次推定」を導入し、臨界指数 $\delta_{\mathrm{cr}}$ の精密な制御を可能にする。
• この推定を、チェビシェフ写像に近い組み合わせを持つ周期 $p$ の再帰的固定点に適用し、$p \to \infty$ のとき $\delta_{\mathrm{cr}}(f_p) \to 1$ を示す。
• ゼロ測度条件の下で $\operatorname{HD}(J(F_c)) = \delta_{\mathrm{cr}}(J(F_c))$ の同値性を用いて、臨界指数とハウスドルフ次元を結びつける。
• 準コンformな共役とハイブリッド同値性を用いて、2次的写像の力学を2次多項式に関連付ける。
• ルベーグ密度点定理と歪度推定を適用し、ポincare級数のバウンドと被覆議論を用いて、ジュリア集合がゼロ面積を持つことを証明する。
• フェイゲンバック・マップの自己同相似構造を活用し、反復的再帰的レベルにおけるポincare級数の帰納的バウンドを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェイゲンバック・ジュリア集合のハウスドルフ次元が2未満である可能性はあるか？
• RQ2 フェイゲンバック・ジュリア集合のハウスドルフ次元が1に任意に近づくことは可能か？
• RQ3 チェビシェフに類似した組み合わせを持つ再帰的固定点の臨界指数 $\delta_{\mathrm{cr}}$ の振る舞いはいかなるものか？
• RQ4 これらのジュリア集合はゼロ面積を持ち、その証明は解析的推定によって可能か？
• RQ5 ポincare級数に対する新しい再帰的推定は、再帰的ジュリア集合の次元をより厳密にバウンドできるか？

主な発見

• 実数パラメータ $c_p \to -2$ の列が存在し、$p \to \infty$ のときジュリア集合 $J(F_{c_p})$ のハウスドルフ次元が1に近づく。
• チェビシェフに類似した組み合わせを持つ周期 $p$ の再帰的固定点 $f_p$ の臨界指数 $\delta_{\mathrm{cr}}(f_p)$ は、$p \to \infty$ のとき $\delta_{\mathrm{cr}}(f_p) \to 1$ を満たす。
• 十分大きな $p$ に対して、再帰的固定点 $f_p$ のジュリア集合はゼロ面積を持つことが確認され、純粋にフラクタルな構造であることが裏付けられる。
• 再帰的2次推定は、無限再帰的ダイナミクスにおけるポincare級数および臨界指数のバウンドに強力な新規な道具を提供する。
• 推定 $\sup \Xi_2(V' \leftarrow U\setminus V' \to A') < 1/100$ や類似の推定が、再帰的レベルにおけるポincare級数の成長を制御するために用いられる。
• ゼロ面積の証明は、ルベーグ密度定理に基づく背理法に依拠し、集合が正の測度を持つならばポincare級数が速く成長し、再帰的バウンドを破ることを示す。