[論文レビュー] Examples of group actions which are virtually W*-superrigid

Jesse Peterson|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用数 32

ひとこと要約

本論文は、特定の条件下—例えば、群 Γ がクラス 𝒞（有界でないコサイクルを有する C₀ 表現へ）に属し、包含関係 $B \subset B\rtimes\Gamma$ が下からのハーガープ性質を持つ—において、群作用がバーチャルに W*-超剛性である新規の例を確立する。この条件下では、群-測度空間フォン・ノイマン代数の任意の同型写像が、Cartan 子代数をユニタリ共役の意味で保存する。主な結果は、このような作用がバーチャルに W*-超剛性であること、つまり W*-同値性が軌道同値性を意味し、Cartan 子代数が共役を除き一意的であることである。

ABSTRACT

We show that if G is a discrete group which does not have the Haagerup property but does have an unbounded cocycle into a C_0 representation and if G acts on a finite von Neumann algebra B such that the inclusion B \subset (B times G) has the Haagerup property from below then any group-measure space Cartan subalgebra must have a corner which embeds into B inside B times G. Taking the action to be trivial we produce examples of II_1 factors N such that N \otimes M is not a group-measure space construction whenever M is a finite factor with the Haagerup property. Taking the action on a probability space with the Haagerup property from below we produce examples of von Neumann algebras which have unique group-measure space Cartan subalgebras. Taking profinite actions of certain products of groups we use the unique Cartan decomposition theorem of N. Ozawa and S. Popa and the cocycle superrigidity theorem of A. Ioana to produce actions which are virtually W*-superrigid.

研究の動機と目的

• 群-測度空間構成がバーチャルに W*-超剛性である条件を同定すること、すなわち W*-同値性が軌道同値性を意味すること。
• 特定の解析的・幾何的制約下で、群作用から得られる II₁ 因子における Cartan 子代数の一意性を確立すること。
• OE-超剛性と W*-超剛性のギャップを埋めるために、W*-同値性が軌道同値性を強制する作用を構成すること。
• 相互にねじれさせる技術と下からのハーガープ性質を用いて、Cartan 子代数が互いに埋め込まれることを示し、結果としてユニタリ共役性に至ること。

提案手法

• Sauvageot の理論を用いて、閉じられる導分と完全正の変形の関係を活用し、包含関係における下からのハーガープ性質を分析する。
• Popa の基本的埋め込み技術を適用し、ある Cartan 子代数のコーナーが他に埋め込まれるならば、それらは環境因子内でユニタリ共役であることを示す。
• Ozawa と Popa の一意的 Cartan 分解定理および Ioana のコサイクル超剛性定理を用いて、一意的 Cartan 子代数を持つ作用を構成する。
• 群作用が有限フォン・ノイマン代数に作用する場合、特に Γ がクラス 𝒞 に属するがハーガープ性質を持たない場合に、包含関係 $B \subset B\rtimes\Gamma$ が下からのハーガープ性質を持つことを分析する。
• もし $N = L^\infty(X,\mu)\rtimes\Gamma$ がハーガープ性質を持たないならば、任意の同型な群-測度空間構成において、Cartan 子代数のコーナーが元の代数に埋め込まれることを示す。
• 定理 5.3 を適用し、$N$ がハーガープでないならば、$L^\infty(Y,\nu)$ のコーナーが $L^\infty(X,\mu)$ に埋め込まれることを導き、一意性結果によりユニタリ共役性に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率空間上の群作用が、W*-同値性が軌道同値性を意味するバーチャルに W*-超剛性である条件は何か？
• RQ2 群-測度空間構成がユニタリ共役を除いて一意的 Cartan 子代数を持つのはいつか？
• RQ3 包含関係 $B \subset B\rtimes\Gamma$ における下からのハーガープ性質が、任意の同型な群-測度空間構成が Cartan 子代数を保存することを保証するか？
• RQ4 C₀ 表現への非有界コサイクルとハーガープ性質が、フォン・ノイマン代数における剛性をどのように強制するか？
• RQ5 ハーガープ性質を持たない群とハーガープ性質を持つ包含関係の組み合わせが W*-超剛性を生じるか？

主な発見

• Γ がクラス $\mathcal{C}$ に属し、ハーガープ性質を持たず、包含関係 $B \subset B\rtimes\Gamma$ が下からのハーガープ性質を持つならば、任意の同型な群-測度空間構成において、Cartan 子代数は元のものとユニタリ共役である。
• 自明な作用に対しては、$M$ がハーガープ性質を持つ有限因子である限り、$N \overline{\otimes} M$ は群-測度空間構成でない。これは $N$ がいかなるような構成とも W*-同値でないことを示している。
• 作用がプロファイントであり、Γ が非有界コサイクルを有する群の積である場合、一意的 Cartan 分解定理とコサイクル超剛性により、バーチャルに W*-超剛性が得られる。
• 包含関係 $A \subset N$ が下からのハーガープ性質を持つことと、$N$ がハーガープ性質を持ち、Γ がハーガープ性質を持つことは同値である。
• もし $N = L^\infty(Y,\nu)\rtimes\Lambda \cong L^\infty(X,\mu)\rtimes\Gamma$ であり、Γ がハーガープ性質を持たないならば、$N$ 内部で $L^\infty(Y,\nu)$ のコーナーが $L^\infty(X,\mu)$ に埋め込まれる。この結果、一意性によりユニタリ共役性が導かれる。
• 一意的 Cartan 子代数を持つ $II_1$ 因子では、W*-同値性が軌道同値性を意味し、定理 A（Ioana [11]）により作用は共役である。