[論文レビュー] Examples of $H$-hypersurfaces in $H^n \ imes R$ and geometric applications

Pierre Bérard, Ricardo Sá Earp|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、回転および平行移動の対称性を用いて、積空間 $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}$ 内の定常平均曲率（CMC）超曲面の明示的例を構成する。$0 < H \leq \frac{n-1}{n}$ の回転 $H$-超曲面を分類し、全垂直グラフおよび埋め込み円筒の存在を証明する。また、平均凸でない領域上での完全でないグラフの構成も行う。さらに、これらをバリアとして用い、平行なスライス内に境界を持つ垂直 $H$-グラフおよびコンパクト $H$-超曲面の存在、対称性、一意性に関する結果を証明する。

ABSTRACT

In this paper we describe all rotation $H$-hypersurfaces in $H^n \ imes R$ and use them as barriers to prove existence and characterization of certain vertical $H$-graphs and to give symmetry and uniqueness results for compact $H$-hypersurfaces whose boundary is one or two parallel submanifolds in slices. We also describe examples of translation $H$-hypersurfaces in $H^n \ imes R$. For $n&gt;2$ we obtain a complete embedded translation hypersurface generated by a compact, simple, strictly convex curve. When $0 &lt; H &lt; \\frac{n-1}{n}$ we obtain a complete non-entire vertical graph over the non-mean convex domain bounded by an equidistant hypersurface taking infinite boundary value data and infinite asymptotic boundary value data.

研究の動機と目的

• 定常平均曲率 $H > 0$ の $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 内の回転 $H$-超曲面を分類すること。
• 平行移動 $H$-超曲面の例を構成し、完全で埋め込まれた曲面および完全でない垂直グラフを含む。
• 回転 $H$-超曲面をバリアとして用い、平行なスライス内に境界を持つ垂直 $H$-グラフおよびコンパクト $H$-超曲面の存在および一意性に関する結果を確立すること。
• $n \geq 2$ の次元に、2次元での CMC 超曲面の結果を一般化すること。

提案手法

• フラックス公式を用いて回転 $H$-超曲面の平均曲率方程式を導出し、生成曲線 $\lambda(\rho)$ のための常微分方程式を解く。
• ODE の解の存在および挙動を分析するために、補助関数 $I_m(t)$, $M_{H,d}(t)$, $P_{H,d}(t)$, および $Q_{H,d}(t)$ を導入する。
• 垂直フラックス公式 $\Delta_M h_M = n \widehat{g}(\overrightarrow{H}, \partial_t)$ を適用し、回転 $H$-超曲面を支配する主要な微分方程式を導出する。
• 回転 $H$-超曲面の幾何的分類を用いて、平行なスライス内に境界を持つコンパクト $H$-超曲面の対称性および一意性に関する結果を証明する。
• 並進不変性の下で定常平均曲率方程式を解くことにより、完全な平行移動 $H$-超曲面を構成し、埋め込み曲面および完全でないグラフを得る。
• 回転 $H$-超曲面 $\mathcal{S}_H$ をバリアとして用い、有界領域上での垂直 $H$-グラフの存在および特徴付けを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $0 < H \leq \frac{n-1}{n}$ の場合、$\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 内の回転 $H$-超曲面の完全な分類および幾何的性質は何か？
• RQ2 $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 内に完全な平行移動 $H$-超曲面を構成できるか？ その幾何的特徴は何か？
• RQ3 回転 $H$-超曲面は、平行なスライス内に境界を持つ垂直 $H$-グラフおよびコンパクト $H$-超曲面の存在および一意性を証明するバリアとしてどのように機能するか？
• RQ4 $H = \frac{n-1}{n}$ の回転 $H$-超曲面の高さ関数の漸近的挙動は何か？
• RQ5 非平均凸領域上に無限大境界および漸近的境界データを持つ完全でない垂直グラフが存在する条件は何か？

主な発見

• $0 < H \leq \frac{n-1}{n}$ の場合、$\mathbb{H}^n$ 上の全垂直グラフである、完全で単連結な回転 $H$-超曲面 $\mathcal{S}_H$ が存在する。
• $H = \frac{n-1}{n}$ の場合、$\mathcal{S}_H$ の高さ関数の漸近的挙動は指数関数的であり、次元 $n \geq 3$ のみに依存する。
• $n \geq 3$ かつ $H = \frac{n-1}{n}$ の場合、コンパクトで単純かつ厳密に凸な曲線によって生成される完全で埋め込みられた平行移動超曲面が存在する。
• $0 < H < \frac{n-1}{n}$ の場合、等距離超曲面 $\Gamma$ で囲まれた非平均凸領域上に、完全でない垂直グラフが存在し、$\Gamma$ 上で無限大境界値データおよび無限大漸近的境界値データを持つ。
• 回転 $H$-超曲面 $\mathcal{S}_H$ は、$0 < H \leq \frac{n-1}{n}$ の場合、適切な有界領域上での垂直 $H$-グラフの存在および特徴付けを証明するバリアとして機能する。
• 境界が一つまたは二つの平行スライス上にあるコンパクト $H$-超曲面は、与えられた幾何的制約のもとで対称的かつ一意であることが示された。