[論文レビュー] Examples of infinitesimally flexible 3--dimensional hyperbolic cone-manifolds

Ivan Izmestiev|ArXiv.org|Oct 15, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、3次元の双曲的錐多様体の新たな例を構成し、それらが無限小的に可動であることを示している。これは、錐角が $2\pi$ 未満の場合の Weiss および Mazzeo–Montcouquiol の剛性結果が最適であることを示している。Pogorelov の定理を用いて、無限小的に可動な双曲的多面体を、ユークリッド幾何から双曲的幾何へと変換することで、頂点のない、かつすべての錐角が $2\pi$ を超える錐多様体を構成し、この条件下でグローバル剛性が成立しないことを示している。

ABSTRACT

Weiss and, independently, Mazzeo and Montcouquiol recently proved that a 3--dimensional hyperbolic cone-manifold (possibly with vertices) with all cone angles less than $2π$ is infinitesimally rigid. On the other hand, Casson provided 1998 an example of an infinitesimally flexible cone-manifold with some of the cone angles larger than $2π$. In this paper several new examples of infinitesimally flexible cone-manifolds are constructed. The basic idea is that the double of an infinitesimally flexible polyhedron is an infinitesimally flexible cone-manifold. With some additional effort, we are able to construct infinitesimally flexible cone-manifolds without vertices and with all cone angles larger than $2π$.

研究の動機と目的

• 錐角が $2\pi$ 未満の双曲的錐多様体の無限小的剛性結果が最適であることを、$2\pi$ を超える角度を持つ反例の構成によって示す。
• 頂点のない、かつすべての錐角が $2\pi$ を超える例の構成を通じて、双曲的錐多様体における可動性の理解を拡張する。
• 錐角が $2\pi$ を超える場合にグローバル剛性が成立しないことを、同一の錐角を持つ非合同な錐多様体の構成によって示す。
• 無限小的に可動な多面体の二重構成を用いて、錐角を保持したまま新たな可動な錐多様体を生成するメカニズムを活用する。

提案手法

• Pogorelov の定理を用いて、ユークリッド多面体の無限小的可動性を、クラインモデルにおけるそれらの双曲的対応物へと移行する。
• 非コンパクトなハイパーアイデアル多面体を、ユークリッド的可動多面体から導出し、それを切断することでコンパクトな双曲的多面体を構成する。
• 無限小的に可動な双曲的多面体を二重化し、対応する二面角での変形が相殺されることで錐角を保存する錐多様体を生成する。
• 4つの切断されたハイパーアイデアル多面体を貼り合わせることで、頂点を持たない錐多様体を構成し、元の多面体の可動性を継承する。
• 分岐被覆を適用することで、錐角を $2\pi$ を超えるように拡大し、可動性と錐角構造を保持する。
• Pogorelov の補題 4.1 の双曲的版を用いて、合同でないが等長的に変形された多面体のペアを生成し、同一の錐角を持つ非合同な錐多様体の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての錐角が $2\pi$ を超える無限小的に可動な双曲的錐多様体を構成することは可能か？
• RQ2 錐角が $2\pi$ 未満の錐多様体に対する無限小的剛性結果は最適であるか、それ以上の角度でも可動性が維持されるか？
• RQ3 すべての錐角が $2\pi$ を超える場合に、頂点を持たない可動な錐多様体を構成できるか？
• RQ4 錐角が $2\pi$ を超える場合に、同一の錐角を持つ非合同な錐多様体は存在するか？
• RQ5 可動な多面体の二重構成により、安定した錐角を保ちながら可動な錐多様体を生成できるか？

主な発見

• 球面に同相な、骨格が八面体のスケルトンである 3 次元のコンパクトな無限小的に可動な双曲的錐多様体が構成された。
• 4つの切断されたハイパーアイデアル多面体を貼り合わせることで、頂点を持たず、すべての錐角が $2\pi$ を超える無限小的に可動な錐多様体が明示的に構成された。
• 無限小的に可動な双曲的多面体の二重構成により、対応する二面角の変化が相殺されることで、無限小的に可動な錐多様体が得られる。
• 同一の錐角を持つ非合同な錐多様体が存在することが示された。これは、2パラメータ族のこのような多様体を構成し、錐角写像が重複することによって確認された。
• 分岐被覆を適用することで、すべての錐角を $2\pi$ を超えるようにでき、グローバル剛性がこの範囲で成立しないことが確認された。
• Weiss および Mazzeo–Montcouquiol の剛性定理が最適であることが構成によって確認された。錐角が $2\pi$ を超える場合でも可動性が維持されるからである。