[論文レビュー] Examples of inner linear Hopf algebras

Nicolás Andruskiewitsch, Julien Bichon|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、内部線形 Hopf代数の2つの基礎的結果を確立する。1つ目は、Hopf双対を用いた特徴付けであり、Drinfeld-Jimboの量子代数 $U_q(\mathfrak{g})$ と $\mathcal{O}_q(G)$ が $q$ が単位根でない場合に内部線形であることを証明する。2つ目は、拡大における安定性に関する結果であり、$q$ が単位根の場合の量子代数および半分解放型直交 Hopf代数の内部線形性を確認する。さらに、コンパクトな Lie 群 $K$ に対する $\mathcal{O}_q(K)$ が $q \in \mathbb{R}^*$、$q \neq \pm 1$ のとき内部線形ではあるが内部ユニタリではないことを示し、$*$-代数表現における重要な差異を解消する。

ABSTRACT

The notion of inner linear Hopf algebra is a generalization of the notion of discrete linear group. In this paper, we prove two general results that enable us to enlarge the class of Hopf algebras that are known to be inner linear: the first one is a characterization by using the Hopf dual, while the second one is a stability result under extensions. We also discuss the related notion of inner unitary Hopf *-algebra.

研究の動機と目的

• 既知の内部線形 Hopf代数のクラスを拡張するために、内部線形性の一般的基準を提供すること。
• 内部線形性と内部ユニタリティの違いを $*$-Hopf代数の文脈で明確化すること。
• 代数的拡大における内部線形性の安定性に関する結果を確立し、量子群および半分解放型代数に適用可能であるようにすること。
• 特に $\mathcal{O}_q(K)$ を含むコンパクトな量子群の表現論的性質を、内部ユニタリティの観点から調査すること。

提案手法

• Hopf双対 $H^0$ を用いた内部線形性の特徴付けを導入し、$H$ が内部線形であるための必要十分条件として、$H^0$ が $H$ の点を分離する有限生成な Hopf部分代数を含むことであることを示す。
• この基準を Drinfeld-Jimboの量子代数 $U_q(\mathfrak{g})$ および $\mathcal{O}_q(G)$ に適用し、$q$ が単位根でない場合に内部線形であることを証明する。
• Hopf代数の拡大における内部線形性の安定性に関する結果を構築し、$A$ が内部線形で $H$ が $A$ の忠実平坦な拡大であるならば、$H$ も内部線形であることを示す。
• $*$-Hopf代数にこの拡大技法を適応し、$A \subset H$ が正規的かつ可換で、内部ユニタリな Hopf $*$-部分代数であり、$H$ が右 $A$-加群として有限生成であるならば、$H$ は内部ユニタリであることを証明する。
• ヒルベルト空間上の誘導表現と条件付き期待値、$C^*$-代数的技法を用いて、内部忠実な $*$-表現を構成する。
• この理論をコンパクトな量子群 $\mathcal{O}_q(K)$ および半分解放型直交代数 $A_o^*(n)$ に適用し、後者について内部ユニタリ性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Drinfeld-Jimboの量子代数 $U_q(\mathfrak{g})$ および $\mathcal{O}_q(G)$ が内部線形であるための $q$ に関する条件は何か？
• RQ2 Hopf代数の代数的拡大において内部線形性は保存されるか。もしそうならば、どのような構造的仮定が必要か？
• RQ3 コンパクトな量子群 $\mathcal{O}_q(K)$ は $q \in \mathbb{R}^*$、$q \neq \pm 1$ のとき、内部ユニタリであるか。内部線形であるにもかかわらず？
• RQ4 $*$-Hopf代数 $A_o^*(n)$ は、有限次元ヒルベルト空間上に内部忠実な $*$-表現をもつか？
• RQ5 $*$-Hopf代数の文脈において、内部線形性と内部ユニタリティの関係は何か？

主な発見

• $q$ が単位根でない限り、すべての単純な Lie代数 $\mathfrak{g}$ に対して Drinfeld-Jimboの量子代数 $U_q(\mathfrak{g})$ は内部線形である。
• $q$ が単位根でない限り、関数代数の量子化 $\mathcal{O}_q(G)$ は、Hopf双対による特徴付けによって内部線形であることが示された。
• $q$ が単位根であっても、量子代数 $U_q(\mathfrak{g})$ および $\mathcal{O}_q(G)$ は、拡大における安定性のおかげで内部線形のままである。
• 半分解放型直交 Hopf $*$-代数 $A_o^*(n)$ は、$*$-拡大定理によって内部ユニタリであることが示された。
• コンパクトな量子群 $\mathcal{O}_q(K)$ は $q \in \mathbb{R}^*$、$q \neq \pm 1$ のとき内部線形ではあるが内部ユニタリではない。これは、その $*$-表現に非自明な可換子イデアルが存在するためである。
• $*$-代数 $\mathcal{O}_{-1}(\mathrm{SU}_2)$ は内部ユニタリである。これは、内部ユニタリならば内部線形であるという逆命題が成り立たない反例を提供する。