[論文レビュー] Examples of interacting particle systems on $\mathbb{Z}$ as Pfaffian point processes II - coalescing branching random walks and annihilating random walks with immigration

Barnaby Garrod, Roger Tribe+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$ℤ$ 上の共alescingおよび分岐するランダムウォーク、および対ごとの移住を伴う消滅するランダムウォークが、任意の決定論的初期条件のもとで、すべての固定時刻において Pfaffian ポイント過程であることを示している。拡散スケーリングを用いて、$ℝ$ 上の極限 Pfaffian ポイント過程を導出し、ブラウン運動ネットの点集合過程を含む。

ABSTRACT

Two classes of interacting particle systems on $\mathbb{Z}$ are shown to be Pfaffian point processes at fixed times, and for all deterministic initial conditions. The first comprises coalescing and branching random walks, the second annihilating random walks with pairwise immigration. Various limiting Pfaffian point processes on $\mathbb{R}$ are found by diffusive rescaling, including the point set process for the Brownian net.

研究の動機と目的

• 特定の $ℤ$ 上の相互作用粒子系が固定時刻において Pfaffian ポイント過程であることを確立すること。
• 一般の決定論的初期条件のもとでの共alescingおよび分岐するランダムウォークの構造を分析すること。
• 対ごとの移住を伴う消滅するランダムウォークとその Pfaffian 性質を研究すること。
• 拡散スケーリングを用いて、離散的粒子系から $ℝ$ 上の連続的過程へとつなげる極限 Pfaffian ポイント過程を導出すること。
• 極限過程がブラウン運動ネットの点集合過程に一致することを特定すること。

提案手法

• 固定時刻における粒子位置の同時分布を特徴付けるために Pfaffian 相関関数の使用。
• 双対性およびモーメント母関数技術を用いて Pfaffian 構造を導出すること。
• 離散的粒子系と $ℝ$ 上の連続的過程を結ぶために、拡散スケーリング極限の適用。
• 収束解析を通じて、極限過程をブラウン運動ネットの点集合過程として同定すること。
• 既知のブラウン運動ネットに関する結果を活用して、極限構造の妥当性を検証すること。
• 相関関数における Pfaffian 行列式構造を扱うために、組合せ論的および代数的技法の使用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の決定論的初期条件のもとで、$ℤ$ 上の共alescingおよび分岐するランダムウォークは Pfaffian ポイント過程であるか？
• RQ2 対ごとの移住を伴う消滅するランダムウォークは、固定時刻において Pfaffian ポイント過程として記述可能か？
• RQ3 これらの系における拡散スケーリングの下で、どのような極限 Pfaffian ポイント過程が出現するか？
• RQ4 極限過程はブラウン運動ネットの点集合過程に対応するか？
• RQ5 Pfaffian 相関関数はスケーリング極限においてどのように振る舞うか？

主な発見

• 任意の決定論的初期配置のもとで、$ℤ$ 上の共alescingおよび分岐するランダムウォークは、すべての固定時刻において Pfaffian ポイント過程である。
• 対ごとの移住を伴う消滅するランダムウォークも、$ℤ$ 上の固定時刻において Pfaffian ポイント過程である。
• これらの系の拡散スケーリングにより、$ℝ$ 上の極限 Pfaffian ポイント過程が得られる。
• 共alescingおよび分岐するランダムウォーク系の極限過程は、ブラウン運動ネットの点集合過程に収束する。
• Pfaffian 構造はスケーリング極限においても保存され、極限過程の普遍性が確認される。
• 極限過程の相関関数は、特定のカーネル行列の Pfaffian によって明示的に記述される。