[論文レビュー] Examples of locally compact quantum groups through the bicrossed product construction

Stefaan Vaes|ArXiv.org|Sep 6, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクトな群のマッチドペアから双交叉積構成を用いて、非コンパクトな局所コンパクトな量子群の明示的例を構成する。結果として得られる量子群が、von Neumann代数のクロス積として生じることを示し、一つの例ではハイゼンベルクリー代数の普遍包あくり代数と、ハイゼンベルク群の乗法法則を反映する双対が得られ、量子群における双対性を実証する。

ABSTRACT

The main aim of this paper is to introduce some examples of non-compact locally compact quantum groups to a non-specialized audience. The major importance of these examples is their simplicity. Other examples as the quantum E(2) group of Woronowicz are much more difficult to construct. We will make use of the bicrossed product construction to obtain our examples. This construction dates back to Kac, Takeuchi and Majid. It was also considered by Baaj & Skandalis.

研究の動機と目的

• 非専門家を対象に、非コンパクトな局所コンパクトな量子群のアクセスしやすい、具体的な例を提供すること。
• この二重積構成法が、このような量子群を生成するための体系的な方法であることを示すこと。
• 特に双対性と調和解析の文脈において、量子群がマッチドペアの群から自然に生じることを説明すること。
• 量子対称性と作用素代数的双対性における関連性を示すことで、局所コンパクトな量子群の研究を促すこと。

提案手法

• マッチドペア (G, H) の局所コンパクト群に対して、整合性条件を満たす作用 α と β を用いた双交叉積構成が適用される。
• von Neumann代数 M 上のコマルティプリケーション Δ は、L²(G×H×G×H) 上のユニタリ W を用いて定義され、(Wξ)(g,s,h,t) = ξ(β_{α_g(s)^{-1}t}(h)g, s, h, α_g(s)^{-1}t) で与えられる。
• 得られる量子群 (M, Δ) は左不変重みを有することを示し、局所コンパクトな量子群としての構造を確認する。
• 具体的な例は、G = (ℝ, +) および H = {(a,b) | a>0, b∈ℝ} を用い、作用 α と β を区分的に関数として定義する。
• 形式的計算により、生成子 A, B, C におけるホップ *-代数構造が得られ、関係 [A,C] = B、B は中心的であり、コマルティプリケーション Δ(A) = A⊗A、Δ(B) = A⊗B + B⊗A⁻¹、Δ(C) = C⊗A⁻² + 1⊗C が得られる。
• 双対量子群は G と H の役割を入れ替えることで得られ、異なる関係とコマルティプリケーションを持つ双対ホップ *-代数が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双交叉積構成は、マッチドペアの群から非コンパクトな局所コンパクトな量子群をどのように生成できるか？
• RQ2 このような量子群における von Neumann代数およびコマルティプリケーションの明示的構造は何か？
• RQ3 生成子における形式的ホップ *-代数構造は、ハイゼンベルク群のような古典的リー群とどのように関係するか？
• RQ4 量子群とその双対との間の双対性は、代数的関係およびコマルティプリケーションのどの側面に現れるか？

主な発見

• 双交叉積構成により、マッチドペア (G, H) から局所コンパクトな量子群 (M, Δ) が得られ、M は L²(G×H) 上に作用するクロス積 von Neumann代数である。
• G = (ℝ, +) および H = {(a,b) | a>0, b∈ℝ} に定義された作用を用いた場合、生成子 A, B, C が [A,C] = B、B が中心的であり、Δ(A) = A⊗A、Δ(B) = A⊗B + B⊗A⁻¹、Δ(C) = C⊗A⁻² + 1⊗C を満たす形式的ホップ *-代数構造を持つ量子群が得られる。
• 双対量子群は G と H の役割を入れ替えることで得られ、生成子が [A,B] = 2B、[A,C] = 2C、[B,C] = C² を満たし、コマルティプリケーション Δ(A) = A⊗1 + 1⊗A、Δ(B) = B⊗1 + 1⊗B + A⊗C、Δ(C) = C⊗1 + 1⊗C を満たす双対ホップ *-代数が得られる。
• 双対量子群の代数的構造は、正確にハイゼンベルク群の乗法法則を反映している：(a,b,c)·(a′,b′,c′) = (a+a′, b+b′+ac′, c+c′)。
• この構成により、量子群とその双対が双対性によって結びついていることが確認され、クロス積上の双対重みが左不変性を実現している。