[論文レビュー] Examples of masas in C*-algebras

Jean Renault|ArXiv.org|Mar 23, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、群歪みと群歪み構成を用いてC*-代数におけるCartan部分代数（masas）を構成・解析し、歪み付きエタール群歪みとCartan部分代数を備えたC*-代数の間でカテゴリカル同型を確立する。主な貢献は、非ハウスドルフな設定に一般化されたFeldman-MooreおよびKumjianの結果を、位相的主群歪みを用いたCartan部分代数の特徴づけに拡張することにある。

ABSTRACT

This paper illustrates the notion of a Cartan subalgebra in a C*-algebra through a number of examples and counterexamples. Some of these examples have a geometrical flavour and are related to orbifolds and non-Hausdorff manifolds.

研究の動機と目的

• C*-代数における最大可換自己随伴部分代数（masa）の具体例および逆例を提供すること。
• 群歪みと歪み構成を用いて、von Neumann代数におけるFeldman-Mooreの定理をC*-代数の文脈に拡張すること。
• 位相的主性および非ハウスドルフ群歪みがCartan部分代数の構造に与える役割を調査すること。
• masaが対角（すなわち、純粋状態の一意拡張性を満たす）であるための条件を明確化すること。

提案手法

• 逆半群の部分作用から得られる芽の群歪みを用いてエタール群歪みを構成する。
• 円群による歪みを伴うエタール群歪みに、縮小C*-代数構成を適用し、群歪みC*-代数枠組みを一般化する。
• 自明な同型群を有する点が稠密であるという位相的主性の条件を課すことにより、忠実な条件付き期待値の存在を保証する。
• 有効群歪みの概念と純粋状態の一意拡張性を用いて、対角と一般のCartan部分代数を区別する。
• コンパクト台付き関数を、開ハウスドルフ部分集合上で用いることで、非ハウスドルフ群歪みを解析し、縮小ノルム構成を適応する。
• 可換な円上のホメオモルフィズムを用いた具体例を構成し、$ C_0(G^{(0)}) $ が非ハウスドルフ状況では最大可換でない可能性があることを示す反例を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数が歪み付きエタール群歪みから来るCartan部分代数をもつための条件は何か？
• RQ2 非ハウスドルフ群歪みは、C*-代数における可換部分代数の最大性および正則性にどのように影響するか？
• RQ3 群歪みの位相的主性とmasa上の純粋状態の一意拡張性の関係は何か？
• RQ4 同型な同値関係から得られるCartan部分代数であっても、それらが互いに共役でない場合があるか？
• RQ5 群歪みの芽である非ハウスドルフ群歪み$ G $に対して、部分代数$ C_0(G^{(0)}) $ が最大可換でないのはどのような場合か？

主な発見

• 分離可能なC*-代数におけるCartan部分代数は、歪み付き、エタール的、第二可算、局所有限、ハウスドルフ的、かつ位相的主な群歪みから生じる。
• このような群歪みに歪みを加えたC*-代数は元のC*-代数と同型であり、Cartan部分代数は$ C_0(G^{(0)}) $に対応する。
• Cartan部分代数が対角（すなわち、一意拡張性を満たす）であるための必要十分条件は、関連する群歪みが主群歪みであることである。
• 非ハウスドルフ群歪みでは、$ C_0(G^{(0)}) $ が最大可換でないことがある。これは、可換な円上のホメオモルフィズムを用いた反例によって示された。
• $ C_r^*(G) $ 内に、2点における同型群に台を持つ明示的な関数が存在し、$ C(\bf T) $ と可換であるが、$ C(\bf T) $ に属さない。これにより、$ C_0(G^{(0)}) $ の最大可換性が成立しないことが示された。
• CCR代数のスペクトルは、ハウスドルフ点の集合において空集合となる内点を有する可能性がある。これは、局所有限ハウスドルフ空間内の可算な稠密部分集合を用いた構成によって示された。