[論文レビュー] Examples of Minimal Diffeomorphisms on $t^{2}$ Semiconjugated to an Ergodic Translation

Alejandro Passeggi, Martı́n Sambarino|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$\ mathbb{T}^2$ 上に、非可換なエルゴード的移動に半同型であるが同型ではない最小 $C^{3-\epsilon}$ 微分同相写像を構成する。この構成は、$\ mathbb{T}^3$ 上のマニェの導来アンオソフ微分同相写像の不安定foliationのホロノミーを用いる。主な結果として、ゼロエントロピー、初期条件に対する感度、リ・ヨークル混合、一意的エルゴード的力学を有するような写像の存在を示し、正則性を制御した高次元におけるデニョ型の振る舞いが可能であることを示している。

ABSTRACT

We prove that for every $ε>0$ there exists a minimal diffeomorphism $f:\T^{2} ightarrow\T^{2}$ of class $C^{3-ε}$ and semiconjugate to an ergodic traslation, and have the following properties: zero entropy, sensitivity with respect to initial conditions and Li-Yorke chaos. These examples are obtained through the holonomy of the unstable foliation of Mañé's example of derived from Anosov diffeomorphism on $\T^3.$

研究の動機と目的

• 円周を越えて、非可換な移動に半同型であるが同型ではない $\ mathbb{T}^2$ 上の最小微分同相写像を構成し、デニョの理論を拡張すること。
• 任意の $\epsilon > 0$ に対して、$C^{3-\epsilon}$ 級におけるこのような写像の力学的性質（感度、混合、エルゴード性など）を調査すること。
• 半同型の纤维が点または区間であることを示し、非可算に多くの纤维が非自明な区間であることを示すこと。
• ゼロエントロピーであっても、混合的力学を示す最小的で一意的エルゴード的 $C^{3-\epsilon}$ 微分同相写像の存在を確立すること。

提案手法

• マニェの $\ mathbb{T}^3$ 上の導来アンオソフ微分同相写像の不安定foliationのホロノミー写像を用い、$C^{3-\epsilon}$ 正則性を達成するために修正する。
• 固有値が $0 < \lambda_s(a) < \lambda_c(a) < 1 < \lambda_u(a)$ を満たす一パラメータ族 $B_a \in \mathrm{SL}(3,\mathbb{Z})$ からの線形アンオソフ写像を選択し、所望のスペクトル的性質を保証する。
• 固定点付近で $C^\infty$ パーティクル $g_{B_a,k}$ を適用し、不安定インデックスを変更し、横断的ホモクライン点を生成するが、部分的双曲性を維持する。
• 収縮率 $l_\xi(F)$ と拡張率 $\tau_\xi(g_a)$ の推定を用い、$C^r$ セクション定理（ヒルシュ＝プーグ＝シューブ）により不安定foliationの $C^r$ 正則性を確立する。
• 不安定葉に沿ったホロノミー流の時間1写像として $\ mathbb{T}^2 \to \mathbb{T}^2$ への写像 $f$ を得る。これにより最小微分同相写像が得られる。
• すべての $\xi$ に対して $l_\xi(F)(\tau_\xi(g_a))^r < 1$ が一様に成り立つことを証明し、不安定foliationの $C^r$ 正則性、したがって $f$ の $C^r$ 正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $\epsilon > 0$ に対して、$\ mathbb{T}^2$ 上に、非可換な移動に半同型であるが同型ではない $C^{3-\epsilon}$ 級の最小微分同相写像が存在するか？
• RQ2 ゼロエントロピーであっても、このような写像が初期条件への感度、混合、エントロピーなどの力学的性質を示せるか？
• RQ3 微分同相写像と移動の間の半同型の纤维は、点または区間などの特定の位相的構造を持つのか？
• RQ4 このような最小微分同相写像が、一意的エルゴード的であると同時にリ・ヨークル混合を示せるか？
• RQ5 適切な線形アンオソフ写像と摂動を選択することで、事前に写像を固定せずに $C^{3-\epsilon}$ 正則性を達成できるか？

主な発見

• 任意の $\epsilon > 0$ に対して、非可換な移動に半同型であるが同型ではない最小 $C^{3-\epsilon}$ 微分同相写像 $f: \mathbb{T}^2 \to \mathbb{T}^2$ が存在する。
• 写像 $f$ は、初期条件への感度とリ・ヨークル混合を示すが、トポロジカルエントロピーがゼロである。
• 半同型の纤维 $h^{-1}(x)$ は、単一の点または閉区間であり、非可算に多くの $x$ に対して非自明な区間の纤维を持つ。
• 非自明な纤维上での繰り返しの圧縮と伸張が、感度やリ・ヨークル混合のような混合的振る舞いを生じる。
• 写像 $f$ は一意的エルゴード的であり、唯一の不変確率測度を保存する。
• 元のマニェ微分同相写像の不安定foliationは最小的であり、ホロノミー構成により $\ mathbb{T}^2$ 上の写像 $f$ がこの最小性を引き継ぐ。