[論文レビュー] Examples of non-formal closed $(k-1)$-connected manifolds of dimensions $4k-1$ and more

Alex N. Dranishnikov, Yuli B. Rudyak|ArXiv.org|Jun 20, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、次元 $\geq 4k-1$ である閉じた $(k-1)$-連結な多様体を構成し、非自明な有理数マッセイ三重積を持つことを示し、それが非形式的であることを証明する。PL埋め込みとユークリッド空間内の正規近傍を用いて、すべての $k$ 次元カップ積が消えるが、$H^{3k-1}(-;\mathbb{Q})$ がマッセイ積で生成される多様体を構築する。これは、システム幾何学における重要な例を提供する。

ABSTRACT

We construct closed $(k-1)$-connected manifolds of dimensions $\ge 4k-1$ that possess non-trivial rational Massey triple products. We also construct examples of manifolds $M$ such that all the cup-products of elements of $H^k(M)$ vanish, while the group $H^{3k-1}(M;\Q)$ is generated by Massey products: such examples are useful for theory of systols.

研究の動機と目的

• 次元 $\geq 4k-1$ である閉じた $(k-1)$-連結多様体で、非自明な有理数マッセイ三重積を持つものを構成すること。
• すべての $H^k(M)$ 内のカップ積が消えるが、$H^{3k-1}(M;\mathbb{Q})$ がマッセイ積で生成されるような多様体の例を提供すること。
• ミラーの $(k-1)$-連結多様体についての次元 $\leq 4k-2$ の形式的性に関する結果が最適であることを示すこと。
• 特に $k=2$ の場合に、従来の方法よりも直接的かつ単純な方法でこのような多様体を構成すること。

提案手法

• 径数集合と二重マッピングシリンダーを用いて、$\mathbb{R}^{4k}$ に $f: S^{3k-2} \to \vee_{i=1}^3 S^k$ のコーンを埋め込むこと。
• ユークリッド空間 $\mathbb{R}^N$ 内の埋め込み複体 $X$ の正規近傍 $W$ を構成し、境界 $V = \partial W$ を得ること。
• 次元 $<k$ の球が $V$ 内でディスクを張ることを示すことにより、$V$ が $(k-1)$-連結であることを証明すること。
• ポincare双対性と対 $(W, V)$ の長い完全系列を用いて、$V$ のコホモロジーを $X$ のホモロジーと関係づけること。
• 二重マッピングシリンダーの PL 埋め込み結果を適用し、$X$ が $\mathbb{R}^N$ に $N \geq 4k$ で埋め込まれることを保証すること。
• 変形リトラクション $r: W \to X$ を定義し、誘導写像 $g^*: H^*(X) \to H^*(V)$ を分析することで、境界多様体上のマッセイ積を研究すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $\geq 4k-1$ である閉じた $(k-1)$-連結多様体で、非自明な有理数マッセイ三重積を持つものは構成可能か？
• RQ2 すべての $k$ 次元カップ積が消えるが、$H^{3k-1}(M;\mathbb{Q})$ がマッセイ積で生成される多様体は存在するか？
• RQ3 次元 $\leq 4k-2$ の $(k-1)$-連結多様体についてのミラーの形式的性に関する結果は、鋭いか？
• RQ4 このような例を直接的かつ単純に構成できるか、特に $k=2$ の場合にそうか？
• RQ5 この構成は、例外的次元 $5k-2$ および $6k-3$ に拡張可能か？

主な発見

• すべての $k$ に対して、次元 $\geq 4k-1$ で非自明な有理数マッセイ三重積を持つ閉じた $(k-1)$-連結多様体が存在し、それらが非形式的であることを証明する。
• ユークリッド空間 $\mathbb{R}^N$ 内の $k$ 次元複体 $X$ の正規近傍 $W$ の境界 $V = \partial W$ は、$N \geq 4k$ のとき $(k-1)$-連結である。
• $N \neq 5k-1, 6k-2, 6k-1$ のとき、境界多様体 $M = \partial W$ のコホモロジー群 $H^{3k-1}(M;\mathbb{Q})$ はマッセイ積で生成される。
• $N \neq 4k$ のとき、$i^*: H^k(W) \to H^k(M)$ の全射性と $H^{2k}(W)$ の消えることにより、$H^k(M)$ 内のすべてのカップ積が消える。
• $N \neq 5k-1, 6k-2, 6k-1$ のとき、$m=1,2,3,4$ に対してマッセイ積 $\langle g^*\alpha_m, g^*\alpha_{m+1}, g^*\alpha_{m+2} \rangle$ は $H^{3k-1}(M;\mathbb{Q})$ の基底をなす。
• 例外的次元 $5k-2$ および $6k-3$ の場合、$W$ の二重化または球面との積により、所望の性質を満たす多様体が得られる。