[論文レビュー] Examples of quantum commutants

Piotr M. Sołtan|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、与えられた量子写像の族と可換であるという普遍的性質によって定義されるコンパクトな量子半群としての量子可換子を導入し、分析する。有限量子空間および $M_2$ に関連する量子空間上で明示的な例を構成し、古典的に群である場合でも、一部の量子可換子がコンパクトな量子群でないことを示す。主な結果は、$M_2$ の自己同型から生じる量子可換子が、ハール測度と群的要素における構造的障害により、コンパクトな量子群でないことを示している。

ABSTRACT

We describe the notion of a quantum family of maps of a quantum space and that of a quantum commutant of such a family. Quantum commutants are quantum semigroups defined by a certain universal property. We give a few examples of these objects acting on a classical $n$-point space and on the quantum space underlying the algebra of two by two matrices. We show that some of the resulting quantum semigroups are not compact quantum groups. The proof of one result touches on an interesting problem of the theory of compact quantum groups.

研究の動機と目的

• 与えられた量子写像の族と普遍的に可換であるコンパクトな量子半群としての量子可換子を定義し、研究すること。
• 古典的 $n$-点空間および $M_2$ に由来する量子空間上で作用する量子可換子を分析すること。
• 古典的類似物が群であるにもかかわらず、特定の量子可換子がコンパクトな量子群でないことを示すこと。
• $C^*$-代数的枠組みにおける非ホップ代数的構造を含む反例を通じて、コンパクトな量子群の構造的制限を探索すること。

提案手法

• 量子写像族の普遍的性質を用いて、$C^*$-代数の multiplier 代数への普遍的準同型を通じて、量子可換子をコンパクトな量子半群として定義する。
• 特に $M = M_2(\mathbb{C})$ を含む有限次元 $C^*$-代数 $M$ に対して、量子半群 $\mathscr{Q}\text{-Map}(\mathscr{QS}(M))$ を、普遍的 $*$-準同型 $\Phi \in \mathrm{Mor}(M, M \otimes \mathbb{A})$ を用いて構成する。
• ハール測度の存在と余単位の役割を含むコンパクトな量子群の理論を適用し、量子可換子がコンパクトな量子群構造をもつかどうかを分析する。
• 量子可換子の $C^*$-代数 $A$ にコアソシエーション型の余乗法 $\Delta$ を適用し、生成子 $X, Y, \alpha, \beta, \gamma$ 間の代数的関係を導出し、群的要素および射影の性質をテストする。
• $A \to A_r$ の還元写像を用いて、還元された $C^*$-代数における群的要素の像を分析し、真の射影が群的であることは、ハール測度の忠実性に反するため、還元代数内では成立しないことを示す。
• 結果 [10, Theorem 2.6(2)] を適用し、還元代数に群的射影が存在するならば、それは稠密なホップ $*$-代数に属する必要があることが示され、その要素が真の射影かつ群的である場合、矛盾が生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $M_2$ の自己同型の量子可換子は、コンパクトな量子群である可能性があるか？
• RQ2 古典的に群である場合でも、量子可換子がコンパクトな量子群でない原因となる構造的障害は何か？
• RQ3 ハール測度と余単位の性質が、コンパクトな量子半群における群的要素の存在をどのように制限するか？
• RQ4 古典的可換子が非アーベル的かつ非自明な場合、例えば $\mathbb{T} \rtimes \mathbb{Z}_2$ の場合、量子可換子はどのように振る舞うか？
• RQ5 コンパクトな量子群の還元 $C^*$-代数に、真の射影かつ群的である要素が存在しうるか？

主な発見

• $M_2$ の自己同型の量子可換子は、古典的可換子が $\mathbb{T} \rtimes \mathbb{Z}_2$ に同型であるにもかかわらず、コンパクトな量子群でない。
• その失敗は、真の射影 $Y^2$ が同時に群的であるという事実に起因し、これは還元 $C^*$-代数の構造とハール測度の忠実性に矛盾する。
• この場合の量子可換子はホップ $*$-代数ではなく、要素 $Y$ は稠密なホップ $*$-代数 $\mathcal{A}$ に属することができず、$A$ がコンパクトな量子群であると仮定すると矛盾が生じる。
• 代数 $A$ は非可換であるが、その還元 $A_r$ は可換になるため、$A_r = A$ が成り立ち、これは非自明な群的射影の存在に矛盾する。
• $C^*$-代数内の要素 $X$ は $X + h(X)Y = \mathbb{1}_A$ を満たし、$h(X) \neq 0$ であるため $X$ と $Y$ は可換でなければならないが、$X$ と $Y$ は反可換であるため $XY = 0$ となり、$X^2 = 0$ かつ $X = 0$ を導く。これは $h(X) = 1$ に矛盾する。
• 分析により、量子可換子は古典的可換子よりも厳密に大きいことが示され、古典群論では捉えきれない非古典的量子構造を示している。