[論文レビュー] Examples of vanishing Gromov--Witten--Welschinger invariants

Janós Kollár|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2014

Finite Group Theory Research参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、代数幾何における実の数え上げ問題の明示的例を構成し、実解なしの状況を提示する。特に、Gromov–Witten–Welschinger不変量が消えるケースに注目し、ℙ³における4次楕円曲線上に位置する点の配置を分析することで、偶数次の場合に、2d個の点の特定の配置に対して、次数dの実有理曲線が存在しないことを示している。この証明には、楕円曲線上の捩れ点と二次曲面の幾何を用い、符号付き不変量と退化論的議論により非存在性を示している。

ABSTRACT

We give examples of real enumerative problems without real solutions. Most of the examples concern rational curves in ${\mathbb C}{\mathbb P}^3$ passing through a real set of points and lines.

研究の動機と目的

• ℙ³における特定の実数の数え上げ問題が、予測される不変量が非ゼロであっても、実解をもたないことを示すこと。
• 退化した配置を用いて、既知のGromov–Witten–Welschinger不変量の消滅例を、より高い偶数次に拡張すること。
• すべての点が4次楕円曲線上にあるℙ³における2d個の点を通る有理曲線の幾何を分析すること。
• 偶数dに対して、一般位置にある2d個の点の配置が、それらを通る実有理曲線をもたないことがあることを示すこと。
• この手法を、ℙ^{4n−1} やℙ³における奇数次曲線など、他の空間へ一般化すること。

提案手法

• ℙ³における8個の一般な点を通る二次曲面の線型系を用い、それらが一意に定まる4次楕円曲線E₄上にあることを示す。
• 2d個の点を通る次数dの曲線を分析する際、E₄を含む二次曲面に制限することで、問題をE₄上の線束に還元する。
• Pic(E₄)における方程式2L₂ ∼ P₂d − H₄を適用し、可能な曲線を分類し、解は2階捩れ点に対応することを示す。
• E₄上の特定の線束L₂しか実曲線を生成しないことを利用し、二次曲面上の実および共役対の幾何を用いる。
• 退化論的技法を適用：特異な二次曲面上の曲線を摂動することで、実Genus 0曲線の極限がすべての制約を満たせないことを示す。
• 二次曲面上の実曲線と複素曲線の構造（例えば、分離された直線や二次曲線）を用い、幾何的に連結な実曲線の存在を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℙ³における2d個の実点または複素共役対の点の配置のうち、次数dの実有理曲線が存在しないのはどのような場合か？
• RQ2 Gromov–Witten–Welschinger不変量の消滅が、高次の場合に実際に実解の不在によって実現可能か？
• RQ3 楕円曲線上の捩れ点は、二次曲面上の実有理曲線の分類にどのような役割を果たすか？
• RQ4 特異な二次曲面上での曲線の退化は、実有理曲線の極限としての存在にどのように影響するか？
• RQ5 この手法は、ℙ^{4n−1} やℙ³における奇数次曲線など、他の空間へ一般化可能か？

主な発見

• 任意の偶数dに対して、ℙ³における一般位置にある2d個の点の配置で、それらを通る実有理曲線が存在しないものが存在する。
• すべての2d個の点がℙ³における4次楕円曲線E₄上にあるとき、対応するPic(E₄)における線束L₂が実でない限り、次数dの実有理曲線の数は0である。
• d=4の場合、8個の実点を持つ4種類の位相的異なる配置と、4対の共役対を持つ11種類の配置があり、いずれも実有理曲線をもたない。
• 本手法により、2つの無限族を構成した：ℙ^{4n−1}における4個の次元2n−1の線形部分空間と交わる直線、およびℙ³における4d個の点と4本の直線と交わる奇数次有理曲線。
• ℙ²における3次および4次曲線について、空の二次曲線x²+y²+z²=0上に点が配置されている場合、実有理曲線は存在しない。これは、非実成分を含む必要があるため。
• ℙ²における曲線Q¹_E + Q′（Q¹_Eが空で、Q′が二次曲線）が実Genus 0曲線の極限であるためには、Q′が共役対の直線でなければならないが、一般な選択ではこれが成立しない。