[論文レビュー] Examples of very unstable linear partial functional differential equations

Р. С. Исмагилов, Н. А. Раутиан+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ラプラシアン作用素に遅れを含む線形部分関数型微分方程式が、その固有値の実部が無限大に発散するため、極めて不安定であることを示している。フーリエ解析と特性クasi多項式を用いて、遅れ付き熱方程式、遅れ付き波動方程式、および摂動付き遅れ付き波動方程式といった具体的な方程式が、不安定な固有値構造を持つことを証明している。これは、標準的な放物型・双曲型方程式が安定な固有値を持つのとは対照的である。

ABSTRACT

We consider the examples of partial functional differential equations with delay in the Laplacian. First of these equations is linear parabolic equation, the second one is linear hyperbolic equation, third equation is perturbed hyperbolic equation with delay. We show that there are the sequence of eigenvalues in both cases with real parts tends to plus infinity.

研究の動機と目的

• ラプラシアンに遅れを含む偏微分関数方程式が、極めて不安定な固有値構造を示すことを示すこと。
• 時間遅れ付きPDEの固有値挙動を、古典的放物型・双曲型方程式のそれと対比させること。
• 遅れ付きPDEから生じる特性クasi多項式の固有値の漸近的分布を分析すること。
• このような遅れ付き方程式の初期値問題を解くために、標準的な重み付きソボレフ空間が不十分であることを示すこと。
• 遅れ付き方程式の固有値の実部が+∞に発散する可能性があることを示し、根本的な不安定性を特定すること。

提案手法

• 空間領域 (0, π) における固有関数展開へのフーリエ法の適用により、PDEを無限個の常微分遅れ方程式系に還元すること。
• 各方程式に対応する特性クasi多項式を導出する：放物型では λ + n²e^(-λh) = 0、双曲型では λ² + n²e^(-λh) = 0、摂動付き双曲型では λ² + n²(1 + e^(-λh)) = 0。
• 複素解析および漸近解析を用いて、特性クasi多項式の根が複素平面上に位置する様子を研究すること。
• 補題1を用いて、|w| が十分に大きいとき、λ + b·lnλ = w が一意に解 λ(w) を持つことを証明し、固有値の漸近的解析を可能にする。
• n → ∞ のときの固有値の漸近的挙動を分析し、Re(λ_nk) = ln(n²) − ln|π/2 + 2πk| + o(1/|k|) と表され、|k| が増加するにつれて発散することを示す。
• 遅れ付き方程式の固有値構造を、古典的マクスウェル＝カタネオ方程式および遅れなし方程式と比較することで、安定性に関する質的差異を強調すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラプラシアンに遅れを含む線形偏微分関数方程式は、固有値の不安定性を示すか？
• RQ2 遅れ付き熱方程式の固有値構造は、標準的な放物型方程式とはどのように異なるか？
• RQ3 遅れ付き双曲型方程式の固有値の実部が+∞に発散する可能性はあるか？
• RQ4 なぜ標準的な重み付きソボレフ空間 W_{2,γ}^1(R_+, A²) は、このような遅れ付きPDEの初期値問題を解くのに不十分なのか？
• RQ5 n → ∞ のとき、遅れ付きPDEの特性クasi多項式の固有値の漸近的挙動はいかなるものか？

主な発見

• 遅れ付き熱方程式の特性クasi多項式 λ + n²e^(-λh) = 0 に対して、固有値 λ_nk の実部は Re(λ_nk) = ln(n²) − ln|π/2 + 2πk| + o(1/|k|) を満たし、k → ∞ のとき無限大に発散する可能性がある。
• 遅れ付き波動方程式 λ² + n²e^(-λh) = 0 に対しても、特定の数列に沿って固有値の実部が+∞に発散し、極めて不安定であることが示された。
• 摂動付き遅れ付き波動方程式 λ² + n²(1 + e^(-λh)) = 0 は、任意の ω > 0 に対して {Re λ ≤ ω} の左半平面に固有値が収束するという意味で安定な固有値構造を持つが、他の2つの方程式とは対照的である。
• 遅れ付き熱方程式の固有値の漸近的展開から、Re(λ_nk) ~ ln(n²) − ln|π/2 + 2πk| が得られ、|k| が増加するにつれて発散することがわかる。
• 方程式 (3) の固有値スペクトルは、古典的マクスウェル＝カタネオ方程式 (1) とは構造的に異なる。前者は右半平面に固有値が広がっている。
• 標準的な重み付きソボレフ空間 W_{2,γ}^1(R_+, A²) が解を含まないのは、ラプラス変換が Re λ > γ で正則であるためであり、Re λ → +∞ を満たす固有値を扱えないからである。