[論文レビュー] Exceptional and modern intervals of the Tamari lattice

Baptiste Rognerud|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2018

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ひとこと要約

本稿では、区間ポセットを用いて、タマリ格子内の2つの新しい区間族を導入し、特徴づけている：例外的区間（非交差木が双代数的オペラッドにおける像に一致し、非交差分割と1対1対応する）と、モダン／無限モダン区間（後者はFuss-Catalan数の三角分解を用いて3分木と1対1対応することが示された）。

ABSTRACT

In this article we use the theory of interval-posets recently introduced by Ch{â}tel and Pons in order to describe some interesting families of intervals in the Tamari lattices. These families are defined as interval-posets avoiding specific configurations. At first, we consider what we call exceptional interval-posets and show that they correspond to the intervals which are obtained as images of noncrossing trees in the Dendriform operad. We also show that the exceptional intervals are exactly the intervals of the Tamari lattice induced by intervals in the poset of noncrossing partitions. In the second part we introduce the notion of modern and infinitely modern interval-posets. We show that the modern intervals are in bijection with the new intervals of the Tamari lattice in the sense of Chapoton. We deduce an intrinsic characterization of the new intervals in the Tamari lattice. Finally, we consider the family of what we call infinitely modern intervals and we we prove that there are as many infinitely modern interval-posets of size n as there are ternary trees with n inner vertices.

研究の動機と目的

• 特定の構成を避ける区間ポセットを用いて、タマリ格子内の例外的区間を特徴づける。
• 例外的区間と非交差分割の間の関係を確立し、非交差分割のポセットにおける区間の像として生じることを示す。
• 新しい区間を特徴づける手段として、モダンおよび無限モダン区間ポセットを定義し、それらを研究する。
• 区間ポセットにおける「上昇」作用を用いた、タマリ格子内での新しい区間の内的特徴づけを提供する。
• サイズ$n$の無限モダン区間ポセットの数が、$n$個の内部頂点を持つ3分木の数に等しいことを証明する。

提案手法

• ChâtelとPonsが導入した区間ポセットという組合せ的モデルを用いて、タマリ格子内の区間を記述する。
• サイズを1増やし、増加関係を1ずつシフトする「上昇」作用を区間ポセットに導入し、区間ポセット構造を保つための条件を付加する。
• 上昇作用が別の有効な区間ポセットを生成するような区間ポセットを、モダン区間ポセットと定義する。
• すべての連続的上昇が有効な区間ポセットのままであるような区間ポセットを、無限モダン区間ポセットと定義する。
• 区間ポセット上の二重統計量を用いて、Fuss-Catalan数$\frac{1}{2n+1}\binom{3n}{n}$の三角分解を回復する。
• 写像$f_{i,k}$による双対性と再帰的分解を用い、サイズ$n$の区間ポセットとサイズ$n+1$の区間ポセットを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タマリ格子内のどの区間が、双代数的オペラッドにおける非交差木の像に一致するか？
• RQ2 区間ポセットを用いて、タマリ格子内の新しい区間をどのように内的特徴づけられるか？
• RQ3 繰り返し上昇作用に対して閉じた区間ポセットの組合せ的意味は何か？
• RQ4 無限モダン区間ポセットと3分木との間に1対1対応があるか？
• RQ5 例外的区間は非交差分割のポセットとどのように関係するか？

主な発見

• タマリ格子内の例外的区間は、非交差木と1対1対応し、非交差分割のポセット内の区間とも1対1対応する。
• サイズ$n$のタマリ格子内の例外的区間の数は$\frac{1}{2n+1}\binom{3n}{n}$である。
• モダン区間ポセットとは、上昇作用によって別の有効な区間ポセットが得られるようなものであり、タマリ格子内の新しい区間は、まさにモダン区間ポセットの上昇によって得られる。
• サイズ$n$のタマリ格子内の新しい区間の数は$3 \cdot \frac{2^{n-2}(2n-2)!}{(n-1)!(n+1)!}$である。
• サイズ$n$の無限モダン区間ポセットは、$n$個の内部頂点を持つ3分木と1対1対応し、その数は$\frac{1}{2n+1}\binom{3n}{n}$である。
• 無限モダン区間ポセットの族は、Aval（2008）が示したFuss-Catalan数の三角分解と一致する再帰的関係を満たす。