[論文レビュー] Exceptional divisors which are not uniruled belong to the image of the Nash map

Monique Lejeune-Jalabert, Ana J. Reguera|ArXiv.org|Nov 14, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、特性が0の非可算な代数閉体上、特異点を持つ多様体の解消において、非有理的（uniruledでない）である例外的因子が、ネッシュ写像の像に属することを証明している。これは、特異点集合の中心となる弧の空間の既約成分に対応することを意味する。この結果により、ネッシュ問題は、ネッシュ写像の像に属する有理的（uniruled）な本質的因子を特定する問題に帰着される。楔の持ち上げ（wedge lifting）とルーロートの定理を用いる。

ABSTRACT

We prove that, if X is a variety over an uncountable algebraically closed field k of characteristic zero, then any irreducible exceptional divisor E on a resolution of singularities of X which is not uniruled, belongs to the image of the Nash map, i.e. corresponds to an irreducible component of the space of arcs on X centered in Sing X. This reduces the Nash problem of arcs to understanding which uniruled essential divisors are in the image of the Nash map, more generally, how to determine the uniruled essential divisors from the space of arcs.

研究の動機と目的

• 特異点集合の中心となる弧の空間の既約成分から生じる本質的因子を特定することで、ネッシュ問題の一部を解決すること。
• 楔の持ち上げ性質と弧空間内の安定点を用いて、ネッシュ写像の像を特徴づけること。
• 非有理的本質的因子が常にネッシュ写像の像に属することを示し、全射性の問題を有理的因子にまで帰着すること。
• 弧空間の局所閉部分集合内の閉点からの楔の持ち上げの存在に基づく、ネッシュ写像の像への属するための基準を提供すること。
• 複素数体上での正則表面特異点におけるネッシュ写像の全射性を、準有理的特異点の解消における楔の持ち上げ性質に関連付けること。

提案手法

• 本質的因子に関連する弧空間の局所閉部分集合内の閉点を中心とする楔の持ち上げ基準を導入すること。
• ルーロートの定理を用いて、非有理的因子が楔からの有理写像の不確定性の除去によって弧空間の成分に対応することを示すこと。
• レグエラが開発した、弧空間内の安定点に対する曲線選択補題を用い、弧の幾何構造とその中心を分析すること。
• 曲に沿ったスキームの形式的完成を構成し、弧空間から特異点の形式的近傍へΨ写像を持ち上げること。
• 形式的関数の定理を用いて、層コホホロジーの逆極限と形式的完成を関連させ、楔の持ち上げの存在を保証すること。
• 特に表面特異点において、例外的因子が有理曲線であるような特異点の解消が存在することに依存すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性0の代数閉体上、非可算な体を含む多様体の本質的因子で、非有理的（uniruledでない）なものは、常にネッシュ写像の像に属するか？
• RQ2 ネッシュ写像の全射性は、有理的本質的因子に限って分析すれば十分か？
• RQ3 解消において、与えられた本質的因子が特異点集合の中心となる弧空間の既約成分から生じるための条件は何か？
• RQ4 楔の持ち上げ性質は、本質的因子の文脈において、ネッシュ写像の像とどのように関係するか？
• RQ5 準有理的表面特異点の解消において、楔の持ち上げが可能となる条件は何か？ そして、これはネッシュ写像の全射性にどのように影響するか？

主な発見

• 非可算な代数閉体（特性0）上での多様体の解消において、非有理的（uniruledでない）である既約例外的因子は、常にネッシュ写像の像に属する。
• 複素数体上での正則表面特異点について、ネッシュ写像の全射性が成り立つためには、すべての準有理的表面特異点が、各本質的因子について楔の持ち上げ性質を満たす解消を持つ必要がある。
• ネッシュ写像の像は、各本質的因子に関連する弧空間の局所閉部分集合内の閉点からの楔の持ち上げに完全に依存する。
• 楔の持ち上げの構成は、形式的完成と形式的関数の定理に依存しており、形式的近傍への射の持ち上げが保証される。
• この結果により、ネッシュ問題の全般的な全射性の問題は、有理的本質的因子のケースに帰着される。非有理的因子はすでに像に属しているため。
• 本論文は、閉点からの楔の持ち上げの存在に基づく、ネッシュ写像の像への属するための基準を提供しており、以前の安定点に関する結果を一般化している。