[論文レビュー] Exceptional Lie groups

Ichiro Yokota|ArXiv.org|Feb 3, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 81

ひとこと要約

本稿は、代数的および幾何的技法を用いて、単連結でコンパクトな例外的リー群 G2, F4, E6, E7, E8 を包括的かつ初等的に構成する。群のすべての対合的自己同型、固定点部分群（対応する対称空間を表す）、最大ランクの最大部分群、および非コンパクトな実形式を体系的に特定し、(SU(5) × SU(5))/Z5 ≅ (E8)z5 や非コンパクト形式の極分解といった同型関係を確立する。

ABSTRACT

We describe simply connected compact exceptional simple Lie groups in very elementary way. We first construct all simply connected compact exceptional Lie groups G concretely. Next, we find all involutive automorphisms of G, and determine the group structures of the fixed points subgroup. They correspond to the classification of all irreducible compact symmetric spaces of exceptional type, and that they also correspond to classification of all non-compact exceptionalsimple Lie groups. Finally, we determined the group structures of the maximal subgroups of maximal rank. At any rate, we would like this book to be used in mathematics and physics.

研究の動機と目的

• 単連結でコンパクトな例外的リー群 G2, F4, E6, E7, E8 を自己完結的かつ初等的に構成すること。
• これらの群のすべての対合的自己同型を分類し、それらの固定点部分群の構造を同定すること（非可約コンパクト対称空間に対応）。
• 各例外的群における最大ランクの最大部分群の群構造を同定すること。
• 双対対称空間と極分解を用いて、例外的リー群の非コンパクト実形式を分類すること。
• 部分群と既知の古典的群との間の明示的同型関係を確立すること、例として (SU(5) × SU(5))/Z5 ≅ (E8)z5 を含む。

提案手法

• カーラー代数とその自己同型群を用いて G2 を構成し、オクタニオン乗法と三重性（triarity）を利用する。
• カーラー代数上の 3×3 ヘルミート行列からなる例外的ジョルダン代数を用いて F4 を構成する。
• カーラー代数上のフレーデンタール三重系とフレーデンタールベクトル空間を用いて E6 と E7 を構成する。
• 248 次元の複素リー代数 e8C の自己同型群として E8 を構成し、sl(5,C) とスピンルックのモジュールの直和として実現する。
• キリング形式とルート系解析を用いて単純性を証明し、カルタン部分代数を同定する。
• 群作用と自己同型（例：位数 5 の z5）を用いて固定点部分群を同定し、古典的群との同型関係を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単連結でコンパクトな例外的リー群 G2, F4, E6, E7, E8 の明示的な群構造は何か？
• RQ2 これらの群のすべての対合的自己同型は何か？ また、それらの固定点部分群の同型型は何か？
• RQ3 これらの群における最大ランクの最大部分群を明示的に記述・分類することは可能か？
• RQ4 例外的リー群の非コンパクト実形式は何か？ そして、それらは対称空間の双対性からどのように生じるか？
• RQ5 E8 内の 5 乗単位根の自己同型の中心化群の構造は何か？ また、それは SU(5) × SU(5) とどのように関係するか？

主な発見

• E8 内の位数 5 の自己同型 z5 の中心化群 (E8)z5 は、(ζE, ζ2E) 生成の巡回部分群 Z5 を含む (SU(5) × SU(5))/Z5 に同型である。
• 非コンパクト実形式 E8(8) と E8(−24) は極分解をもつ：E8(8) ≃ Ss(16) × R128 および E8(−24) ≃ (SU(2) × E7)/Z2 × R112。
• E8(8) と E8(−24) の中心は自明であり、非コンパクト実形式としての単純性が確認される。
• E8 内の位数 3 の自己同型 w は、(SU(3) × E6)/Z3 に同型な部分群を固定する。w3 は位数 3 であり、SU(9)/Z3 を固定する。
• E8 内の位数 5 の自己同型 z5 は、(SU(5) × SU(5))/Z5 に同型な部分群を固定する。リー代数 e8C 上での共役作用を用いた明示的実現がなされる。
• e8C 上のキリング形式は B8(R1, R2) = 60(tr(C1C2) + tr(D1D2) − (x1,w2)(a1,d2) − ...) として明示的に計算され、コンパクト形式の正規化が確認される。