[論文レビュー] Exceptional Points of Degeneracy Induced by Linear Time-Periodic Variation Hamidreza

Kazemi, Hamidreza, Nada, Mohamed Y.+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2018

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 60

ひとこと要約

本稿では、増幅または減衰を必要とせず、時間変動する系パラメータを通じて、線形周期時変系（LTP系）— すなわち損失のない系や増幅のない系でさえも — 例外的縮退点（EPD）が生じることを示す一般理論を提示する。実際、周期的容量変動を示す単一のLC共振器ですら、純粋に実数の共振周波数を持つEPDを有することが可能であり、これは代数的エネルギー増大と摂動に対する極めて高い感受性を引き起こし、超高感度センシング応用が可能となる。

ABSTRACT

We present a general theory of exceptional points of degeneracy (EPD) in periodically time-variant systems that do not necessarily require the presence of loss or gain, and we show that even a single resonator with a time-periodic component may develop EPDs. An EPD is a special point in a system parameter space at which two or more eigenmodes coalesce in both their eigenvalues and eigenvectors into a single degenerate eigenmode. We demonstrate the conditions for EPDs to exist in time-periodic systems that are either lossless/gainless or with loss and/or gain and we show that a system with zero time-average loss/gain exhibits EPDs with purely real resonance frequencies, yet the resonator energy grows algebraically in time. We show the occurrence of EPDs in a single LC resonator while the introduced concept is general for any time-periodic system. These findings have significant importance in various electromagnetic/photonic systems and pave the way of applications in areas of sensors, amplifiers and modulators. A potential application of this time varying EPD is highlighted as a highly-sensitive sensor.

研究の動機と目的

• 線形周期時変（LTP）系における例外的縮退点（EPD）の一般理論的枠組みを確立すること。
• EPDが損失のない系や増幅のないLTP系でも発生可能であることを示し、EPD生成に増幅／減衰が必要であるという従来の仮定に挑戦すること。
• EPDが存在するLTP系ですら、共振周波数が純粋に実数であっても代数的エネルギー増大が生じることを示すこと。
• EPD系が微小摂動に対して極めて感受性を示す性質を解明し、センシング応用に活用できるかを検討すること。
• 時間周期的容量を有する最小限のLC共振器モデルを用いて理論を検証すること

提案手法

• 時間変動する系行列 M(t) を用いた一階微分方程式により、LTP系の時間発展を定式化すること。
• 区分定数系行列を用いて導出される状態遷移行列 Φ(t) を用いて、1つの変調周期 Tm 間の系の時間発展を記述すること。
• 状態遷移行列 Φ と固有ベクトル Ψ の関係 ΦΨ = λΨ を用いて固有値問題を定義し、固有値 λ = exp(iωTm) が系の固有周波数を表すことを示すこと。
• 遷移行列 Φ が対角化不能になり、ジョルダンブロックを形成する点としてEPDを特定すること。これは、重複固有値と重合する固有ベクトルを必要とする。
• 2次EPDが成立する十分条件を導出：tr(Φ)/2 = ±√(det(Φ)) であり、これにより重複固有値と重合する固有ベクトルが保証される。
• Wronskian行列と状態遷移行列を用いた解析解を用いて、時間周期的容量を有する単純なLC共振器に理論を適用すること

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 増幅または減衰が存在しない線形周期時変（LTP）系において、例外的縮退点（EPD）が存在しうるか？
• RQ2 特に2次系において、EPDが発生するための十分な数学的条件は何か？
• RQ3 EPDが存在するLTP系ですら、共振周波数が純粋に実数であっても代数的エネルギー増大が生じるか？
• RQ4 EPD近傍における系の微小摂動への応答はどのように変化するか？ また、この性質はセンシングに利用可能か？
• RQ5 LTP系におけるEPD生成現象は、特定の結合系に限らず、任意の周期的時間変動を示す電磁気的またはRF系に一般化可能か？

主な発見

• 増幅や減衰を一切含まない系、すなわち損失のない系でさえも、容量などの系パラメータの周期的変動によってEPDを誘発可能である。
• 時間平均での損失や増幅がゼロであっても、EPDは純粋に実数の共振周波数を有するが、共振器エネルギーは時間とともに代数的に増大する。
• 時間周期的容量を有する単一のLC共振器は、2次EPDを有することが解析的にも数値的にも確認された。
• 系は摂動に対して極めて感受性を示す：誘電率（ε = 0.001）の0.1％変化が、共振周波数の虚部に0.34ω₀のシフトを引き起こし、Qファクターに76％の変化をもたらす。
• 微小摂動下で複素共振周波数は鋭く非対称に変化する — 正のεでは虚部に大きなシフトが生じ、負のεでは実部に大きなシフトが生じる — これにより超感度センシングへの応用可能性が顕著に示された。
• プアセー級数近似は正確な固有値解とよく一致しており、摂動解析に向けた理論モデルの妥当性が裏付けられた。