[論文レビュー] Exceptional Zeros of $L$-series and Bernoulli-Carlitz Numbers

Bruno Anglès, Tuân Ngô Dac+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2015

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ひとこと要約

本稿は、正標数におけるベルヌーイ＝カルチッツ数の素数を法とする非消滅に関する予想を証明し、これらの数と特定のL級数の例外的零点の間の深い関係を確立する。組合せ論的技法とアンダーソンのソリトンの性質を用いて、素数Pを法とするベルヌーイ＝カルチッツ数BC_{q^d - N}の非消滅は、K線形自己準同型の行列式の非消滅と同値であることが示され、L級数L_N(t)の例外的零点を符号化する。これにより、関数体の算術における重要な問題が解決される。

ABSTRACT

Bernoulli-Carlitz numbers were introduced by L. Carlitz in 1935, they are the analogues in positive characteristic of Bernoulli numbers. We prove a conjecture formulated by F. Pellarin and the first author on the non-vanishing modulo a given prime of families of Bernoulli-Carlitz numbers. We then show that the "exceptional zeros" of certain $L$-series are intimately connected to the Bernoulli-Carlitz numbers.

研究の動機と目的

• 正標数におけるベルヌーイ＝カルチッツ数の族の素数を法とする非消滅に関するF. ペラリンとB. アングルの予想を解決すること。
• 特定のL級数L_N(t)の例外的零点とベルヌーイ＝カルチッツ数の算術的関係を明確にすること。
• K線形自己準同型φ_t^{(N)}が空間H(φ^{(N)})に作用するときの固有値を用いた、非消滅結果の新しい証明を提供すること。
• A = F_q[θ]における多項式の導関数を含むオイラー型和のための桁の原理を構築し、正標数における有限多重ゼータ値に関する結果を一般化すること。

提案手法

• p進的評価とL級数L_N(t)の係数の次数に関する組合せ的境界を用いて、定理1.1を証明する。この際、桁和ℓ_q(N)とカーリッツ階乗Π(n)を用いる。
• アンダーソン＝タカール関数ω(t)とカーリッツ周期e_πを用いて、2変数多項式B_N(t, θ)を構成し、B_N(t^p, θ^p) = B_N(t, θ)^pなどの重要な関数的恒等式を満たすことを示す。
• L_N(t)の例外的零点が、有限次元K-ベクトル空間H(φ^{(N)})上のK線形自己準同型φ_t^{(N)}の固有値であることを用い、θ^{q^d}I_d - φ_t^{(N)}|_{H(φ^{(N)})}の行列式とベルヌーイ＝カルチッツ数を関連付ける。
• 付録で桁の原理を適用し、導関数和δ_N = ∑_{k ≥ 1} ∑_{a ∈ A_{+,k}} a'^N / a をδ_{q^k}、Π(N)、β_Nを含む積として表現し、B_N(θ, θ)と関連付ける。
• 非アーチメティック的ワイエルシュトラス準備定理を用いて、F(t)/ω(t) ∈ F_q[t]であることを示し、恒等式ω(t) = exp_C(e_π / (θ - t))の証明に不可欠な役割を果たす。
• 恒等式Res_{t=θ^{q^j}} ( L(t) / (t - θ^{q^j}) ) = δ_{q^j} と補題A.3を用いて、δ_{q^j} を明示的にΠ(q^j)/[j] · e_π^{1 - q^j} として計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q^d > N かつ d ≥ (ℓ_q(N) - 1)/(q - 1) N を満たすとき、次数dのモニック素因数Pに対して、ベルヌーイ＝カルチッツ数BC_{q^d - N}がPを法として消えるか？
• RQ2 L級数L_N(t)の例外的零点とベルヌーイ＝カルチッツ数の明確な算術的関係は何か？
• RQ3 和δ_N = ∑_{k ≥ 1} ∑_{a ∈ A_{+,k}} a'^N / a は、既知の特殊値δ_{q^k} や Π(N) を用いて表現可能か？
• RQ4 H(φ^{(N)})上のK線形自己準同型φ_t^{(N)}の固有値が、L_N(t)の例外的零点をどのように符号化するか？
• RQ5 古典的多重ゼータ値理論に類似した、導関数和δ_Nの構造を支配する桁に基づく原理は存在するか？

主な発見

• 定理1.1が証明された：N ≥ 2、N ≡ 1 (mod q - 1)、かつd ≥ (ℓ_q(N) - 1)/(q - 1) N を満たすとき、任意のモニック素因数P（次数d）に対して、q^d > N ならばBC_{q^d - N} ≢ 0 (mod P) である。
• L_N(t)の例外的零点は、H(φ^{(N)})上のK線形自己準同型φ_t^{(N)}の固有値にちょうど一致し、これらは単純であり、q = p のときF_p((1/θ))に属する。
• q = p のとき、行列式det_K(θ^{q^d}I_d - φ_t^{(N)}|_{H(φ^{(N)})}) は、(-1)^{ℓ_p(N) - p} / (p - 1) · Π(N)Π(q^d - N) / ∏_{l=0}^{k} ∏_{n=0, n ≠ l}^{d-1} (θ^{p^l} - θ^{p^n})^{n_l} · BC_{q^d - N} に等しい。
• 和δ_N = ∑_{k ≥ 1} ∑_{a ∈ A_{+,k}} a'^N / a は、β_N Π(N) / Π([N/q])^q · ∏_{k=1}^r (δ_{q^k}/e_π)^{n_k} に等しいことが示され、ここでβ_N = (-1)^{(ℓ_q(N) - 1)/(q - 1)} B_N(θ, θ) である。
• 多項式B_N(t, θ)はθに関してモニックで、次数ℓ_q(N) - q / (q - 1) であり、その根はL_N(t)の例外的零点に一致する。
• ℓ_q(N) = 3q - 2 のとき、B_N(θ, t)の判別式は非ゼロであり、これによりB_N(θ, t)が単純な根のみを持つことが示され、この場合における例外的零点の単純性が確認される。