[論文レビュー] Excision in Hochschild and cyclic homology without continuous linear sections

Ralf Meyer|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、連続線形セクションが存在しない状況においても、連続ホッフダイヒューモロジーおよび循環ホモロジーに対する除去定理を確立し、滑らかな多様体の閉部分集合上におけるホイットニー関数代数のホモロジーを計算する応用を行う。一般化された純粋性およびH-ユニタル性を、正確な対称モノイダル圏において定式化することで、核的H-ユニタルFréchet代数に対する除去定理を証明し、滑らかでホイットニー関数代数の周期的循環ホモロジーの計算を可能にする。

ABSTRACT

We prove that continuous Hochschild and cyclic homology satisfy excision for extensions of nuclear H-unital Frechet algebras and use this to compute them for the algebra of Whitney functions on an arbitrary closed subset of a smooth manifold. Using a similar excision result for periodic cyclic homology, we also compute the periodic cyclic homology of algebras of smooth functions and Whitney functions on closed subsets of smooth manifolds.

研究の動機と目的

• 連続線形セクションを要件としない連続ホッフダイヒューモロジーに対する一般除去定理を定式化し、証明すること。
• 特に滑らかな多様体の閉部分集合上におけるホイットニー関数代数を含むFréchet代数への除去定理の適用範囲を拡張すること。
• 滑らかな多様体の閉部分集合上における滑らか関数およびホイットニー関数代数の連続ホッフダイヒューモロジー、循環ホモロジー、周期的循環ホモロジーを計算すること。
• BrasseletおよびPflaumの先行研究における技術的制限を克服し、閉部分集合の特異点に関する制限的な仮定を排除すること。
• 対称モノイダル正確カテゴリにおけるホモロジー的および圏論的道具を用いて、Wodzickiの除去定理を一般化すること。

提案手法

• 抽象的な正確な対称モノイダル圏において純粋性およびH-ユニタル性を形式化し、古典的状況を超えた除去定理の一般化を図ること。
• 核的商およびH-ユニタル核を有するFréchet代数の拡張に一般化された除去定理を適用し、たとえば閉部分集合上で無限次の零点を持つ関数のイデアルのような例に応用すること。
• Fréchet空間上の完全な射影的位相的テンソル積を用いて、核的商が純粋拡張をもたらすことを検証すること。
• 除去定理を拡張 $ \mathcal{J}^\infty(X;Y) \rightarrowtail \mathrm{C}^\infty(X) \twoheadrightarrow \mathcal{E}^\infty(Y) $ に適用し、ここで $ \mathcal{E}^\infty(Y) $ は閉部分集合 $ Y \subset X $ 上のホイットニー関数代数である。
• Goodwillieのpro-nilpotent代数に関する定理を用い、核 $ N = \mathrm{C}^\infty_0(Y;X)/\mathcal{J}^\infty(X;Y) $ が周期的循環ホモロジーに関して収縮可能であることを示すこと。
• ind代数の圏におけるind-局所分解拡張を用いて、周期的循環ホモロジーのコバナシ列を証明し、コンパクトな台を持つ滑らか関数代数の計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続線形セクションを欠くFréchet代数の拡張に対して、ホッフダイヒューモロジーにおける除去定理を確立できるか？
• RQ2 滑らかな多様体の閉部分集合上におけるホイットニー関数代数の周期的循環ホモロジーは、射影的分解や制限的な幾何的仮定を必要とせずに除去を満たすか？
• RQ3 除去定理を、滑らかな多様体のトポロジカル代数（例：Fréchet代数）を含む、抽象的な正確な対称モノイダル圏に一般化できるか？
• RQ4 適切な条件下で、閉部分集合上におけるホイットニー関数代数の周期的循環ホモロジーは、同じ部分集合上における滑らか関数代数のそれと同型となるか？
• RQ5 核イデアルの周期的循環ホモロジーが収縮可能であるための条件は何か？これにより、周期的循環ホモロジーの文脈で除去が可能になる。

主な発見

• 閉部分集合 $ Y \subset X $ 上におけるホイットニー関数代数の連続ホッフダイヒューモロジーは、$ Y $ 上の微分形式の空間に同型であり、古典的なde Rham同型の一般化である。
• ホイットニー関数代数 $ \mathcal{E}^\infty(Y) $ の連続周期的循環ホモロジーは、$ Y $ の周期的de Rhamコホモロジーに同型であり、すなわち $ \operatorname{HP}_n(\mathcal{E}^\infty(Y)) \cong \bigoplus_{k\in\mathbb{Z}} \mathrm{H}_{\mathrm{dR}}^{n-2k}(Y) $ である。これは $ Y $ が特異的であっても成り立つ。
• 核 $ N = \mathrm{C}^\infty_0(Y;X)/\mathcal{J}^\infty(X;Y) $ は位相的に冪零的であるため、その周期的循環ホモロジーは収縮可能であり、長大な完全系列における除去を可能にする。
• コンパクトな台を持つ滑らか関数代数に対しては、ind-局所分解拡張を用いることで除去が成立し、周期的循環ホモロジーにおいてコバナシ列が得られる。
• 除去定理は、すべての核的H-ユニタルFréchet代数に適用可能であり、連続線形セクションの必要性を排除し、BrasseletおよびPflaumの先行結果を一般化する。
• 明示的な双モジュール分解を回避することで、ホイットニー関数のホモロジー計算に対して、従来の手法よりも短くより一般的な証明を提供する。