[論文レビュー] Excitations Propagating Along Surfaces

A. V. Stoyanovsky|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2003

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、R^N 内の n 次元超曲面上を伝わる励起状態の波動およびハミルトニアン力学を一般化し、ハミルトン＝ジャコビ方程式、正準ハミルトン方程式、およびシュレーディンガー方程式と輸送方程式の類似物を導出する。主な貢献は、作用関数の変分が (n−1) 次元境界上で運動量およびエネルギーに類似した量を生じる変分的枠組みであり、これは光線伝搬および準古典的波動挙動の場理論的類似物を確立する。

ABSTRACT

A number of equations is deduced which describe propagation of excitations along $n$-dimensional surfaces in $R^N$. Usual excitations in wave theory propagate along 1-dimensional trajectories. The role of the medium of propagation of excitations considered in this paper is played by the infinite dimensional space of $(n-1)$-dimensional surfaces in $R^N$. The role of rays is played by $n$-dimensional solution surfaces of the variational problem. Such a generalization of wave theory can be useful in quantum field theory. Among these equations are the generalized Hamilton--Jacobi equation (known in particular cases in the literature), generalized canonical Hamilton equations, and generalized Schrodinger equation. Besides that, a theory of integration of the generalized Hamilton--Jacobi equation is developed.

研究の動機と目的

• R^N 内の n 次元超曲面上を伝わる励起状態のための変分的枠組みを構築し、波動理論における1次元の光線伝搬を一般化すること。
• n 次元の変分問題に対するハミルトン＝ジャコビ方程式および正準ハミルトン方程式の類似物を導出すること。
• 共通接超曲面を用いた全積分 S_{C_0}(C) = I(C_0,C) + U(C_0) から得られる解法を用いて、一般化されたハミルトン＝ジャコビ方程式のコーシー問題を定式化・解明すること。
• シュレーディンガーに類似した方程式および輸送方程式を含む、準古典的近似枠組みを確立すること。
• 波動解の振幅が特徴曲線に沿って一定であることが、波動光学の短波長極限に類似した形で一般化されることを示すこと。

提案手法

• パラメータ s^1,…,s^{n−1},t を用いたパラメトリック表現を用いて、超曲面 D 上での n 次元作用積分の変分を導出する。
• ストークスの定理を適用して、作用 S(C) の変分を (n−1) 次元超曲面 C 上の境界積分に還元し、δS = ∫_C (Σ p^i δz^i − Σ H^j δx^j) ds を得る。
• p^i および H^j を、パラメトリック被積分関数 Φ からの偏微分を用いてラグランジアン F から導出される共役運動量およびハミルトニアン密度と特定する。
• ハミルトン＝ジャコビ類似方程式の特徴曲線の方程式が、n 次元問題における正準ハミルトン方程式と一致することを確立する。
• 全積分 S_{C_0}(C) = I(C_0,C) + U(C_0) から得られる共通接超曲面の方法を用いて、コーシー問題の解を構成する。
• 作用 S および振幅 a(C) を用いた1次近似において、準古典的シュレーディンガーに類似した方程式および輸送方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ハミルトン＝ジャコビ方程式および正準ハミルトン方程式は、R^N 内の n 次元超曲面へどのように一般化可能か？
• RQ2 n 次元超曲面に対する作用の変分の類似物は何か？ そして、それが共役運動量およびハミルトニアン密度をどのように導くか？
• RQ3 全積分および共通接超曲面の族を用いて、一般化されたハミルトン＝ジャコビ方程式のコーシー問題はどのように解けるか？
• RQ4 この高次元の変分的枠組みにおける、シュレーディンガー方程式および輸送方程式の準古典的類似物は何か？
• RQ5 波動振幅が特徴曲線に沿って一定であることは、どのようにこの一般化において保たれるか？ これは波動光学または量子力学におけるものと類似している。

主な発見

• n 次元極値超曲面 D 上での作用関数 S(C) の変分は、境界積分 δS = ∫_C (Σ p^i δz^i − Σ H^j δx^j) ds に還元され、p^i および H^j はパラメトリック被積分関数 Φ を用いたラグランジアン F からの偏微分によって導出される。
• p^i および H^j は、超曲面 D の接空間構造にのみ依存し、特定のパラメータ表示には依存せず、エネルギー運動量テンソルの成分と関連している。
• ハミルトン＝ジャコビ方程式の類似物が導出され、その特徴曲線の方程式が n 次元問題における正準ハミルトン方程式と一致することが示された。
• 解の振幅 a(C) は特徴曲線に沿って一定であり、波面が局所的振幅を変えずに伝搬する準古典的波動挙動を一般化する。
• 初期データ C_0 上での一貫性を保証するために、全積分 S_{C_0}(C) の族および共通接超曲面の構成を用いて、一般化されたハミルトン＝ジャコビ方程式のコーシー問題が解かれた。
• 1次近似において、準古典的シュレーディンガーに類似した方程式および輸送方程式が導出され、後者は波動振幅の時間発展を記述する。