[論文レビュー] Exclusion sets in eigenvalue inclusion sets for tensors

Chaoqian Li, Suhua Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Geršgorin集合 Γ(𝒜) と Brauer型集合 𝒦(𝒜) から固有値を含まない部分集合を除外することで、2つの新しい固有値包含集合 Ω(𝒜) と Θ(𝒜) を提案する。主な貢献は、Ω(𝒜) ⊆ Γ(𝒜) および Θ(𝒜) ⊆ 𝒦(𝒜) である。これは、固有ベクトルに基づく除外基準を用いて、テンソル固有値のより緊密な境界を提供するものである。

ABSTRACT

By excluding some sets, which don't include any eigenvalue of a tensor, from some existing eigenvalue inclusion sets, two new sets are given to locate all eigenvalues of a tensor. And it is shown that these two sets are contained in the Geršgorin eigenvalue inclusion set of tensors provide by Qi (Journal of Symbolic Computation 2005; 40:1302-1324) and the Brauer-type eigenvalue inclusion set provide by Li et al. (Numer. Linear Algebra Appl. 2014; 21:39-50) respectively. Two sufficient conditions such that the determinant of a tensor is not zero are also provided.

研究の動機と目的

• 固有値を含まない領域を特定・除外することで、既存のテンソル固有値包含集合を改善すること。
• テンソルの固有値を含まない部分集合を除去することで、Geršgorin集合 Γ(𝒜) と Brauer型集合 𝒦(𝒜) を精緻化すること。
• それぞれ Γ(𝒜) および 𝒦(𝒜) に厳密に含まれる新しい、より緊密な固有値包含集合 Ω(𝒜) と Θ(𝒜) を開発すること。
• 固有値を含まない領域の除外に基づいて、テンソルの行列式が非ゼロであるための十分条件を提供すること。
• 固有ベクトルのモジュラスと成分解析を用いて、高次テンソルへの固有値局在化技術の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• Geršgorin集合およびBrauer型集合から固有値を含まない領域を除外する除外集合 Δᵢ(𝒜) と Λᵢ(𝒜) を定義する。
• 固有ベクトルの最大モジュラス成分とそれに応じるテンソル方程式を用いて、固有値位置の境界を導出する。
• 不等式 |xₚ| と |xₜ| を含む定義に基づき、Δᵢ(𝒜) を除外することで Ωᵢ(𝒜) = Γᵢ(𝒜) \ Δᵢ(𝒜) を構築し、Geršgorin円板を精緻化する。
• 不等式 |λ - aᵢᵢ|, |λ - aₚₚ|, および係数 aᵢₚ…ₚ を含む集合の和集合である Λᵢ(𝒜) を除去することで、Θᵢⱼ(𝒜) = 𝒦ᵢⱼ(𝒜) \ Λᵢ(𝒜) を構成する。
• 三角不等式と固有ベクトル成分の成分別境界を用いて除外条件を導出し、固有値が存在し得ない領域を排除する。
• 固有ベクトル成分とモジュラスの比較に基づく場合分けを用いて、包含関係 Ω(𝒜) ⊆ Γ(𝒜) および Θ(𝒜) ⊆ 𝒦(𝒜) を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Geršgorin集合 Γ(𝒜) のどの部分集合がテンソルの固有値を含まず、どのようにして体系的に除外できるか。
• RQ2 固有ベクトル構造に基づいて、Brauer型固有値包含集合 𝒦(𝒜) から固有値を含まない領域を除去することで、より緊密な包含集合を得られるか。
• RQ3 テンソル成分にどのような条件が満たされると、Γ(𝒜) や 𝒦(𝒜) の特定の領域が固有値をすべて含まないと保証されるか。
• RQ4 このような領域の除外が、テンソルの非特異性を示す行列式基準をどのように改善するか。
• RQ5 新しい集合 Ω(𝒜) と Θ(𝒜) は、固有値局在化の精度において、既存の包含集合に対してどの程度向上をもたらすか。

主な発見

• 集合 Ω(𝒜) は、各 Geršgorin 円板 Γᵢ(𝒜) から Δᵢ(𝒜) を除外することで構築され、Ω(𝒜) ⊆ Γ(𝒜) が成り立ち、固有値を含まない領域を厳密に除外する。
• 集合 Θ(𝒜) は、Brauer型集合 𝒦(𝒜) から Λᵢ(𝒜) を除去することで形成され、Θ(𝒜) ⊆ 𝒦(𝒜) が成り立ち、𝒦(𝒜) よりもより緊密な包含領域を提供する。
• 任意のテンソルの固有値 λ に対して、すべての i について λ ∉ Λᵢ(𝒜) が成り立つため、集合 Λᵢ(𝒜) はBrauer型包含集合に対する有効な除外集合である。
• 除外集合 Δᵢ(𝒜) と Λᵢ(𝒜) は、固有ベクトル成分の解析と |xₜ| および |xₚ| を含む不等式に基づいて導出され、これらは固有値を含まないと保証される。
• 系3は、|aᵢᵢ|, rᵢ(𝒜), および非対角成分を含む係数不等式に基づく、det(𝒜) ≠ 0 のための2つの十分条件を提供する。
• 新しい集合 Ω(𝒜) と Θ(𝒜) は、それぞれ Γ(𝒜) および 𝒦(𝒜) に厳密に含まれており、互いに包含関係にないことがあり、補完的な改善を示している。