[論文レビュー] Excursion reflected Brownian motion and loewner equations in multiply connected domains

Shawn Drenning|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、共形不変性を用いて、有限連結領域における「通行反射ブラウン運動」（ERBM）の新しい構成を提示し、ERBMにおけるポアソン核とグリーン関数の関係を確立する。また、特定の多重連結領域における単純な曲線のためのロエヴェナー方程式を導出することで、ERBMがこのような設定におけるSLEの研究に役立つツールであることを位置づける。

ABSTRACT

Excursion reflected Brownian motion (ERBM) is a strong Markov process defined in a finitely connected domain $D \subset \C$ that behaves like a Brownian motion away from the boundary of $D$ and picks a point according to harmonic measure from infinity to reflect from every time it hits a boundary component. We give a new construction of ERBM using its conformal invariance and discuss the relationship between the Poisson kernel and Green's function for ERBM and conformal maps into certain classes of finitely connected domains. One important reason for studying ERBM is the hope that it will be a useful tool in the study of SLE in finitely connected domains. To this end, we show how the Poisson kernel for ERBM can be used to derive a Loewner equation for simple curves growing in a certain class of finitely connected domains.

研究の動機と目的

• 共形不変性を用いて、有限連結領域における通行反射ブラウン運動（ERBM）の新しい構成を発展させること。
• 有限連結領域の特定のクラスにおいて、ERBMのポアソン核とグリーン関数の関係を調査すること。
• ERBMと、多重連結領域で成長する曲線のためのロエヴェナー方程式との関係を確立すること。
• ERBMを用いて、有限連結領域におけるシュラム＝ロエヴェナー過程（SLE）の研究に応用する基盤を築くこと。

提案手法

• 共形不変性を用いて、ERBMを有限連結領域において強いマルコフ過程として構成する。
• ERBMを、内部ではブラウン運動のように振る舞い、無限遠からの調和測度に従って境界成分から反射する過程として定義する。
• ERBMのポアソン核と、特定のクラスの有限連結領域への共形写像との対応関係を確立する。
• ERBMのポアソン核を用いて、特定の有限連結領域における単純な曲線の成長に関するロエヴェナー方程式を導出する。
• ERBMの共形不変性を応用し、その確率的構造とグリーン関数の解析的性質との関係を明らかにする。
• 調和測度と共形写像の構造を活用して、多重連結設定へのロエヴェナー型方程式の一般化を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 通行反射ブラウン運動は、共形不変性を用いてどのように有限連結領域に構成できるか？
• RQ2 多重連結領域におけるERBMのポアソン核とグリーン関数の正確な関係は何か？
• RQ3 ERBMのポアソン核を用いて、有限連結領域における成長曲線のロエヴェナー方程式を導出できるか？
• RQ4 ERBMは、多重連結領域におけるSLEの研究にどのように確率的ツールとして機能するか？
• RQ5 どのようなクラスの有限連結領域が、ERBMから導かれる意味のあるロエヴェナー方程式を許容するか？

主な発見

• 共形不変性を用いた通行反射ブラウン運動（ERBM）の新しい構成が達成され、有限連結領域における定義の厳密な枠組みが提供された。
• ERBMのポアソン核が、特定のクラスの有限連結領域への共形写像と密接に関係していることが示された。
• ERBMのポアソン核を用いて、特定の有限連結領域における単純な曲線の成長に関するロエヴェナー方程式が導出された。
• 共形不変性の文脈において、ERBMのグリーン関数とポアソン核の関係が確立された。
• 結果として、SLE理論を多重連結領域へ拡張するための確率的基盤が提供された。
• この枠組みにより、複数の境界成分を有する領域における曲線の成長ダイナミクスの、確率過程と共形幾何学を用いた研究が可能になった。