[論文レビュー] Excursions Above the Minimum for Diffusions

P. J. Fitzsimmons|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、正則な拡散過程の過去の最小値を超える部分のためのLévy系を構築し、一様な経路分解フレームワークを可能にする。Vervaatの定理の新たな証明を提供し、最小値で分割して再順序付けすることで、ブラウン運動のブリッジがブラウン運動のエクスカージョンに変換されることを示す。また、エクスカージョン理論とエクスカージョン測度の技法を用いて、この変換の逆変換を構築する。

ABSTRACT

We demonstrate the existence of a "Lévy system" for the excursions of a one-dimensional diffusion process above its past-minimum process. As applications we provide a direct proof of D. Williams' decomposition (in both a global and a local form) and of a theorem of W. Vervaat.

研究の動機と目的

• 正則な拡散過程の過去の最小値を超えるエクスカージョンの点過程を、Maisonneuveの退出系理論を用いて形式化すること。
• 第一到達過程の独立増分性を活用して、エクスカージョン点過程のためのLévy系を構築すること。
• ブラウン運動に限らないより広いクラスの拡散過程に対して、Williamsのグローバル最小値における分解を一般化すること。
• ブラウン運動のブリッジとブラウン運動のエクスカージョンを結ぶVervaatの経路変換を、一様な枠組みで再証明すること。
• Vervaatの変換の逆変換を確立し、ブラウン運動のエクスカージョンがどのように分割され、再配置されることでブラウン運動のブリッジに再構成可能であるかを示すこと。

提案手法

• 補助過程 $\overline{X}_t$ に Maisonneuve の退出系理論を適用し、過去の最小値を超えるエクスカージョンのためのLévy系を導出する。
• 伊藤のエクスカージョン測度と局所時刻を用いて、固定レベル $y$ を超えるエクスカージョンの分布を特徴づけ、それらをエクスカージョン測度 $n_y$ と関連付ける。
• ランダム時刻 $u$ で経路を分割し、セグメントを再順序付けすることでVervaat変換を模倣するスプライシング写像 $\Phi$ を定義する。
• ブラウン運動のエクスカージョン測度 $P_+$ とLebesgue測度 $\lambda$ の積を用いて、$\overline{\Omega} = \Omega_0 \times ]0,1[$ 上の結合確率測度を構成する。
• 経路スプライシングと時間反転を用いて、$\overline{P}$ の下での $(\Phi, V, X_U)$ の結合分布と、$P_0$ の下での $(\omega, \rho_1, -H_1)$ の間の双対性を確立する。
• 時間反転とエクスカージョンカーネルの恒等式を用いて、$ \Psi \circ \Phi = \text{id} $ が成り立つことを確認し、逆変換が成立することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡散過程の過去の最小値を超えるエクスカージョンを、Lévy系を持つ点過程としてどのように記述できるか？
• RQ2 ブラウン運動に限らない範囲に広げて、グローバル最小値におけるWilliamsの分解を一般化できるか？
• RQ3 経路変換を介して、ブラウン運動のブリッジとブラウン運動のエクスカージョンの間の正確な関係は何か？
• RQ4 Vervaatの変換の標準的な逆変換は存在するか？ それがエクスカージョンからブラウン運動のブリッジを再構成可能であるか？
• RQ5 ブラウン運動のブリッジにおける最小値の時刻と最小値の結合分布は、エクスカージョン構造とどのように関係するか？

主な発見

• 正則な拡散過程の過去の最小値を超えるエクスカージョンの点過程に対してLévy系が構築され、時刻に依存する非定常な状況に一般化された伊藤のエクスカージョン測度が得られた。
• グローバル最小値における拡散過程のWilliams分解の一般版が確立され、ブラウン運動に既知の結果がより広いクラスの拡散過程へ拡張された。
• Vervaatの定理に対して新たな証明が与えられ、ブラウン運動のブリッジが最小値で分割され、セグメントが再順序付けられることでブラウン運動のエクスカージョンが得られることを示した。
• Vervaatの変換の逆変換が構築された：ブラウン運動のエクスカージョンがランダム時刻 $u$ で分割され、セグメントが再配置されることでブラウン運動のブリッジが得られる。
• $\overline{P}$ の下での $(\Phi(V, X_U))$ の結合分布が、$P_0$ の下での $(\omega, \rho_1, -H_1)$ の結合分布と一致し、経路変換の正当性が確認された。
• 写像 $\Psi$ に対して $\Psi(P_0) = P_+$ が成り立つことが示され、再配置された経路の分布が実際にブラウン運動のエクスカージョンの分布であることが証明された。