[論文レビュー] Excursions on Cantor-like Sets

Roberto DiMartino, Wilfredo Urbina|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、古典的な三進 Cantor 集合を超えた一般化された Cantor に類する集合を検討し、それらの位相的・測度論的・フラクタル的性質を分析する。可変な除去割合を持つ構成（例：$ C_\nu $）を導入し、それらの集合が完備的で、至る所で稠密でなく、非可算的であり、正の Lebesgue 測度を持つ可能性があることを示し、スケーリングの議論により Hausdorff 維度を計算する。また、太った Cantor 集合を用いた Riemann 積分可能性の反例への応用も示す。

ABSTRACT

The ternary Cantor set $C$, constructed by George Cantor in 1883, is probably the best known example of a perfect nowhere-dense set in the real line, but as we will see later, it is not the only one. The present article we will explore the richness, the peculiarities and the generalities that has $C$ and explore some variants and generalizations of it. For a more systematic treatment the Cantor like sets we refer to our previous paper.

研究の動機と目的

• 各段階で除去する区間の割合を変化させることで、古典的な三進 Cantor 集合を一般化すること。
• これらの一般化された集合の位相的性質（完備的、至る所で稠密でない）と測度論的挙動（正の測度）を分析すること。
• スケーリングと自己相似性を用いて、非対称および対称な Cantor に類する集合の Hausdorff 維度を計算すること。
• 太った Cantor 集合が Riemann 可積分関数の完全性に関する反例を構成するためにどのように利用できるかを示すこと。
• 先行研究 [7] を参照して、Cantor に類する集合の体系的基盤を提供すること。

提案手法

• 各段階 $ n $ で、各部分区間の中心から長さ $ \lambda / 3^n $ の開区間を除去することで、一般化された Cantor 集合 $ C_\nu $ を構成し、自己相似性を保つ。
• 三進展開による特徴付け：$ C = \{ x \in [0,1] \mid \varepsilon_k(x) \in \{0,2\} \} $ を、制限された桁のパターンを持つ集合へ一般化。
• 次元のテクニックを適用：$ p $ 個の自己相似的部分がそれぞれスケーリング係数 $ 1/m $ で縮小されている場合、Hausdorff 維度は $ d = \ln p / \ln m $ である。
• Lebesgue 測度 $ C_\lambda $ が $ 1 - \lambda $ に等しいことを導出し、$ 0 < \lambda < 1 $ のとき $ C_\lambda $ が正の測度を持つことを示す。
• 測度 $ 1/2 $ の太った Cantor 集合として Volterra 集合 $ SVC(4) $ を用い、その指示関数に収束する Riemann 可積分関数の列を構成する。
• Lebesgue の基準（関数が Riemann 可積分であるための必要十分条件は、不連続点の集合の測度がゼロであること）を用いて、極限関数が Riemann 可積分でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可変な区間除去割合で構成された Cantor に類する集合は、古典的な三進 Cantor 集合と比べて、測度と次元においてどのように異なるか？
• RQ2 Cantor に類する集合が完備的かつ正の Lebesgue 測度を持つことは可能か？そのような場合、どのような条件下で成立するか？
• RQ3 非対称な Cantor に類する集合の Hausdorff 維度は何か？スケーリング係数と自己相似的部分の数にどのように依存するか？
• RQ4 太った Cantor 集合を用いて、点単位で収束するが Riemann 可積分でない関数列をどのように構成できるか？
• RQ5 三進展開は、Cantor に類する集合の特徴付けと一般化において果たす役割は何か？

主な発見

• 一般化された Cantor 集合 $ C_\lambda $ は Lebesgue 測度 $ 1 - \lambda $ を持ち、$ 0 < \lambda < 1 $ のとき正の測度を持つため、太った Cantor 集合と呼ばれる。
• $ C_\lambda $ の Hausdorff 維度は $ d = \frac{\ln 2}{\ln 6 - \ln(3 - \lambda)} $ に等しく、除去パラメータ $ \lambda $ に依存する。
• 各部分がスケーリング係数 $ 1/m $ で縮小された $ p $ 個の自己相似的部分を持つ対称的な Cantor に類する集合では、Hausdorff 維度は $ d = \frac{\ln p}{\ln m} $ に等しく、古典的な場合を一般化する。
• 古典的な Cantor 三進集合の Hausdorff 維度は $ \frac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0.6309 $ であり、一般化された公式と整合的である。
• Riemann 積分可能性の反例における極限関数の不連続点の集合は $ SVC(4) $ であり、測度 $ 1/2 $ の太った Cantor 集合である。この集合は正の測度を持つため、Lebesgue の基準に反する。
• 除去された区間の指示関数 $ f_n $ の列は、点単位で収束し、$ L^1 $ でも収束するが、極限関数は Riemann 可積分でない。