[論文レビュー] Exhausting families of representations and spectra of pseudodifferential operators

Victor Nistor, Nicolas Prudhon|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、C*-代数における「消耗的表現族」の概念を導入し、その族が表現のスペクトルの和集合によって可逆性とスペクトルを特徴づけることを証明している。主な貢献は、C*-代数の元が可逆であるための必要十分条件が、族に属するすべての表現における像が可逆であることであるという、擬微分作用素のスペクトル理論およびフレドホルム理論を、角を持つ多様体および群ガロア代数の文脈に一般化した点にある。

ABSTRACT

Families of representations of suitable Banach algebras provide a powerful tool in the study of the spectral theory of (pseudo)differential operators and of their Fredholmness. We introduce the new concept of an exhausting family of representations of a C*-algebra A. An {\em exhausting family} of representations of a C*-algebra A is a set F of representations of A with the property that every irreducible representation of A is weakly contained in some ϕ\in F. An exhausting family F of representations of A has the property that `"a \in A is invertible if, and if, ϕ(a) is invertible for any ϕ\in F." Consequently, the spectrum of a is given by \Spec(a) = \cup_{ϕ\in F} \Spec(ϕ(a)). In other words, every exhausting family of representations is invertibility sufficient, a concept introduced by Roch in 2003. We prove several properties of exhausting families and we provide necessary and sufficient conditions for a family of representations to be exhausting. Using results of Ionescu and Williams (2009), we show that the regular representations of amenable, second countable, locally compact groupoids with a Haar system form an exhausting family of representations. If $A$ is a separable C*-algebra, we show that a family F of representations of $A$ is exhausting if, and only if, it is invertibility sufficient. However, this result is not true, in general, for non-separable C*-algebras. With an eye towards applications, we extend our results to the case of unbounded operators. A typical application of our results is to parametric families of differential operators arising in the analysis on manifolds with corners, in which case we recover the fact that a parametric operator F is invertible if, and only if, its Mellin transform is invertible. In view of possible applications, we have tried to make this paper accessible to non-specialists in C*-algebras.

研究の動機と目的

• 擬微分作用素のスペクトル的およびフレドホルム的性質を分析するための表現論的枠組みを構築すること。
• 作用素の本質的スペクトルが、関連する表現のスペクトルの和集合の閉包に等しいのはいつかを明確にすること。特に、閉包をとる必要があるかどうかの曖昧さを解消すること。
• 表現族が「消耗的」である、すなわち弱閉包においてすべての既約表現を捉え、可逆性を決定することを保証する条件を確立すること。
• 非有界作用素およびパrametric族への理論の拡張、特に角を持つ多様体の文脈における応用。
• Rochの「可逆性十分」族の一般化を提示し、分離可能な場合に消耗的族と同値であることを示すこと。

提案手法

• C*-代数 A の *-表現の族 F が、すべての既約表現が F のあるメンバーに弱包含されるとき、その族を『消耗的表現族』と定義する。
• 消耗的族が可逆性十分であることを証明する：a ∈ A が可逆であることは、F に属するすべての φ に対して φ(a) が可逆であることと同値である。
• A 内の元 a のスペクトルが、消耗的族に属するすべての φ における φ(a) のスペクトルの和集合に等しいことを示す：Spec(a) = ∪φ∈F Spec(φ(a))。
• Ionescu と Williams の結果を用いて、ハア測度を備えたアメーブルで第二可算的かつ局所有限な局所有限群ガロアの正則表現が消耗的族をなすことを示す。
• 非有界作用素への拡張として「抽象的付随作用素」の概念を導入し、パrametric擬微分作用素に適用する。
• 角を持つ多様体上のパrametric族 P(λ) に理論を適用し、P が可逆であることと、すべての λ ∈ ℝⁿ に対してそのメリン変換 P̂(λ) が可逆であることとが同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬微分作用素の本質的スペクトルが、関連表現のスペクトルの和集合の閉包に等しいのはいつか。また、閉包をとる必要があるのはいつか？
• RQ2 C*-代数の表現族が『消耗的』であるための条件は何か。すなわち、すべての既約表現が弱閉包に含まれ、可逆性が決定可能である。
• RQ3 『消耗的族』と『可逆性十分族』が同値となる条件は何か。非分離的 C*-代数に対してもこの同値性は成り立つか？
• RQ4 消耗的族の理論を非有界作用素および微分作用素のパrametric族にどのように拡張できるか。
• RQ5 角を持つ多様体上の擬微分作用素のスペクトル的およびフレドホルム的性質は、メリン変換および表現論を用いて特徴づけられるか？

主な発見

• C*-代数 A の消耗的表現族は、a ∈ A が可逆であることと、族に属するすべての φ に対して φ(a) が可逆であることとが同値であることを保証する。
• C*-代数 A の元 a のスペクトルは、消耗的族に属するすべての表現における像のスペクトルの和集合に等しい：Spec(a) = ∪φ∈F Spec(φ(a))。
• 分離可能な C*-代数では、表現族が消耗的であることと可逆性十分であることとは同値であるが、一般に非分離的 C*-代数ではこの同値性は成り立たない。
• ハア測度を備えたアメーブルで第二可算的かつ局所有限な局所有限群ガロアの正則表現は、消耗的表現族をなす。
• 角を持つ多様体上のパrametric擬微分作用素 P に対して、P が可逆であることと、すべての λ ∈ ℝⁿ に対してそのメリン変換 P̂(λ) が可逆であることとは同値である。
• M × ℝⁿ 上で形式的に自己随伴かつ楕円的で位数 m > 0 の作用素 T に対して、T のスペクトルはそのメリン変換のスペクトルの和集合に等しい：Spec(T) = ∪λ∈ℝⁿ Spec(̂T(λ))。