[論文レビュー] Exhausting the background approach for bounding the heat transport in Rayleigh-Bénard convection

Zijing Ding, Rich R. Kerswell|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2019

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 27被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、2次元レイノルズ＝ベンダール対流におけるヌセルト数（Nu）を厳密に評価するため、熱方程式と時間平均されたボウシネスク方程式を完全に満たす2次元温度および速度背景場を用いた、強化された背景法を用いる。この手法は、渇性制約や対称性の破れを含めても、依然としてNu ≤ 0.055Ra^{1/2}に留まり、観測されたRa^{1/3}スケーリングに到達できないため、この問題に対する背景法の限界に達していることが示された。

ABSTRACT

We revisit the optimal heat transport problem for Rayleigh-B\'enard convection in which a rigorous upper bound on the Nusselt number, $Nu$, is sought as a function of the Rayleigh number $Ra$. Concentrating on the 2-dimensional problem with stress-free boundary conditions, we impose the full heat equation as a constraint for the bound using a novel 2-dimensional background approach thereby complementing the `wall-to-wall' approach of Hassanzadeh \etal \,(\emph{J. Fluid Mech.} extbf{751}, 627-662, 2014). Imposing the same symmetry on the problem, we find correspondence with their result for $Ra \leq Ra_c:=4468.8$ but, beyond that, the optimal fields complexify to produce a higher bound. This bound approaches that by a 1-dimensional background field as the length of computational domain $L ightarrow\infty$. On lifting the imposed symmetry, the optimal 2-dimensional temperature background field reverts back to being 1-dimensional giving the best bound $Nu\le 0.055Ra^{1/2}$ compared to $Nu \le 0.026Ra^{1/2}$ in the non-slip case. % We then show via an inductive bifurcation analysis that imposing the full time-averaged Boussinesq equations as constraints (by introducing 2-dimensional temperature {\em and} velocity background fields) is also unable to lower this bound. This then exhausts the background approach for the 2-dimensional (and by extension 3-dimensional) Rayleigh-Benard problem with the bound remaining stubbornly $Ra^{1/2}$ while data seems more to scale like $Ra^{1/3}$ for large $Ra$. % Finally, we show that adding a velocity background field to the formulation of Wen \etal\, (\emph{Phys. Rev. E.} extbf{92}, 043012, 2015), which is able to use an extra vorticity constraint due to the stress-free condition to lower the bound to $ Nu \le O(Ra^{5/12})$, also fails to improve the bound.

研究の動機と目的

• 2次元レイノルズ＝ベンダール対流におけるヌセルト数（Nu）を、洗練された背景法を用いて厳密に評価すること。
• 制約として完全な熱方程式と時間平均されたボウシネスク方程式を適用することで、Nuの上界が向上するかどうかを検証すること。
• 対称性の仮定や渇性制約を導入することで、Nu ≤ 0.055Ra^{1/2}未満の上界を達成できるかどうかを調査すること。
• 背景法が、乱流対流における観測されたNu ∼ Ra^{1/3}スケーリングを予測する上で、根本的な限界に達しているかどうかを特定すること。

提案手法

• 本研究では、標準的な射影を超えて、完全な熱方程式を制約として満たす2次元背景法を採用する。
• 最適な流れ構造の空間的複雑性を捉えるために、2次元温度および速度背景場を導入する。
• 変分最適化フレームワーク内で、運動量方程式および熱方程式をラグランジュ乗数を用いて制約として導入する。
• 複雑性の増加に伴う解の安定性および最適性を評価するために、帰納的分岐解析を適用する。
• Wen ら（2015）のインスピレーションを受けて、修正されたラグランジュ乗数構造を用いて渇性制約を拡張する。
• 数値的時間積分法を用いて摂動を進化させるが、2次元ではグローバル最適解への収束が保証されないことが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 背景法において完全な熱方程式を制約として適用することで、2次元レイノルズ＝ベンダール対流におけるNuの上界が向上するか？
• RQ2 背景場における対称性の仮定を緩和すると、対称ケースよりもタイトな上界が得られるか？
• RQ3 拡張された背景形式による渇性制約の導入によって、上界がNu ≤ 0.055Ra^{1/2}未満に低下するか？
• RQ4 背景法のRa^{1/2}スケーリング限界は根本的であるか、それともさらなる制約によってこのスケーリングを打ち破れるか？
• RQ5 洗練された定式化を経ても、実験で観測されたNu ∼ Ra^{1/3}スケーリングに到達できない背景法の理由は何か？

主な発見

• Ra ≤ Rac ≈ 4468.8の範囲では、対称的2次元背景法はHassanzadeh ら（2014）の結果を再現するが、それ以上の範囲では最適な場の複雑化に伴い上界が上昇する。
• ドメイン長さL → ∞の極限において、2次元上界は1次元背景場の上界に漸近的に近づき、1次元構造の支配的役割を確認する。
• 対称性を緩和した場合、最適な2次元温度背景場は1次元プロファイルに回帰し、上界Nu ≤ 0.055Ra^{1/2}をもたらす。
• 時間平均されたボウシネスク方程式を2次元速度および温度背景場を用いて完全に満たしても、上界は依然としてNu ≤ 0.055Ra^{1/2}のままであり、これはこの手法の限界に達していることを示している。
• 渇性制約を伴う速度背景場の導入（以前はNu ≤ O(Ra^{5/12})に上界を低下させた）も、さらなる改善をもたらさず、Ra^{1/2}スケーリングがこの手法の硬直的限界であることを確認した。
• 2次元では、初期条件に依存する複数の定常状態が存在する多安定性のため、数値的時間積分法では最適解への収束が保証されない。