[論文レビュー] Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane

Michaël Rao|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2017

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 3被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、371種の角度条件族に対する体系的なバックトラッキングアルゴリズムを用いて、ユークリッド平面上をタイル張りするすべての凸五角形の完全な列挙を提示している。明確に証明されたのは、凸五角形タイル張りの15の既知の族しか存在せず、また、非周期的タイル張りのみを許容する凸多角形は存在しないことである。

ABSTRACT

We present an exhaustive search of all families of convex pentagons which tile the plane. This research shows that there are no more than the already 15 known families. In particular, this implies that there is no convex polygon which allows only non-periodic tilings.

研究の動機と目的

• 非周期的な方法でのみ平面をタイル張りする凸五角形が存在するかどうかを特定すること。
• ユークリッド平面上をタイル張りするすべての凸五角形の族を体系的に分類すること。
• 15の既知の五角形タイル張り族より多くの族が存在するかどうかという長年の未解決問題を解決すること。
• 15の既知の五角形族以外の凸多角形が平面をタイル張りできないことを確立すること。
• すべての凸五角形タイル張りは正の密度の頂点型を含むことの証明により、アルゴリズムによる列挙が可能になること。

提案手法

• 研究では、幾何学的整合性を保つために、Vc(s) · α = 2 を満たす修正されたベクトル型（Vc(s)）を持つ頂点型を定義した。
• すべてのタイル張りにおいて正の密度を有する頂点型集合は有限個であることが証明され、探索空間が制限された。
• 371の角度条件族それぞれについて、すべての可能なタイル張りを探索するバックトラッキングアルゴリズムが用いられた。
• 複素数の恒等式を用いて幾何学的実現可能性をチェックした：∑ℓi·exp(s(α)i·π·i) = 0、ここで s(α)i = (i−1)−∑j<i αj である。
• 退化したケース（24種類）は、有理型ポリトープ上での正弦および余弦の境界に関する代数的チェックにより特定され、除外された。
• 同一の頂点を統合し、タイル張りグラフのコンact表現を用いることで、探索が最適化された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非周期的な方法でのみ平面をタイル張りする凸五角形は存在するか？
• RQ2 ユークリッド平面上をタイル張りする異なる凸五角形族はいくつ存在するか？
• RQ3 このようなタイル張り五角形の集合を完全に列挙できるか？
• RQ4 15の既知の族より新しい凸五角形タイル張り族が存在するか？
• RQ5 凸五角形が平面をタイル張りするための角度および辺の長さに必要な十分な制約は何か？

主な発見

• 包括的探索により、平面をタイル張りする凸五角形の族は15の既知の族に限られることが確認された。
• 15の既知の族より新しい凸五角形タイル張り族は発見されなかった。
• 24の退化タイプ（20–24）は、すべて幾何学的実現可能性条件 ∑ℓi·exp(s(α)i·π·i) = 0 を満たす解を持たないことが判明した。
• タイプ16–19は、既知の15の族の特殊ケースにすぎず、新しい独立した族ではない。
• 本研究では、非周期的タイル張りのみを許容する凸多角形は存在しないことが証明された。なぜなら、すべてのこのようなタイル張りは正の密度の頂点型を含むからである。
• 371の角度条件族すべてをチェックした後、アルゴリズムは正常に終了し、完全性が確認された。