[論文レビュー] Existence and asymptotic stability of quasi-periodic solution of discrete NLS with potential in $\mathbb{Z}$

Masaya Maeda|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、整数格子 ℤ 上の減衰するポテンシャルを伴う離散非線形シュレーディンガー方程式（DNLS）に対して、連続スペクトルと離散スペクトル周波数の間の共鳴が存在しない条件下で、小規模な準周期的解の2パラメータ族の存在を確立する。さらに、すべての小スケール解が、そのような準周期的解と分散波に漸近的に分離することを示し、非線形境界状態の不安定性を示している。

ABSTRACT

We prove the existence of a 2-parameter family of small quasi-periodic in time solutions of discrete nonlinear Schrödinger equation (DNLS). We further show that all small solutions of DNLS decouples to this quasi-periodic solution and dispersive wave.

研究の動機と目的

• 整数格子 ℤ 上のポテンシャルを伴う離散非線形シュレーディンガー方程式（DNLS）における小スケール解の長時間的ダイナミクスを調査すること。
• スペクトルの共鳴が連続スペクトルとない条件下で、離散的設定において準周期的解が存在するかどうかを特定すること。
• すべての小スケール解が準周期的成分と分散波に分解されることを示すことにより、これらの解の漸近的安定性を確立すること。
• 非線形境界状態（励起状態を含む）が、連続スペクトルへの共鳴的減衰の欠如により、すべて不安定であることを示すこと。

提案手法

• 2つの複素振幅 $ z_1, z_2 $ でパrameter化された実解析的準周期的解を構成するために、Nash-Moser の反復スキームを用いる。周波数は非線形補正により調整される。
• 離散固有周波数と離散ラプラシアンの連続スペクトルとの間の共鳴を避けるために、すべての $ n \in \mathbb{Z} $ に対して $ e_1 + n(e_2 - e_1) \notin [0,4] $ という条件を課す。
• 解を $ \Psi(z_1,z_2) = \phi_1(z_1) + \phi_2(z_2) + \psi(z_1,z_2) $ の形に構成する。ここで $ \phi_j(z_j) $ は非線形境界状態であり、$ \psi $ はモード間の結合を記述する。
• 解およびその摂動の減衰性と正則性を制御するため、重み付き $ l^{p,\sigma} $ 空間および指数的重み付き $ l^a_e $ 空間を用いる。
• Banach空間間の $ C^\omega $ 関数を用いた複素解析的手法を適用し、反復的構成の収束を保証する。
• 非線形相互作用項を多線形作用素 $ \mathbf{m}^{l_1l_2} $ を用いて分析し、重み付き空間におけるノルムの推定を実行することで反復の制御を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数格子 ℤ 上の離散 NLS において、連続スペクトルとの共鳴が存在しない条件下で、小スケールの準周期的解が存在するためのスペクトル的条件は何か？
• RQ2 すべての DNLS の小スケール解は、漸近的に準周期的解と分散波成分に分解可能か？
• RQ3 スペクトルの非共鳴（すなわち $ e_1 + n(e_2 - e_1) \notin [0,4] $）が、準周期的解の存在を可能にする役割は何か？
• RQ4 連続的 NLS の設定とは異なり、離散的設定における非線形境界状態が不安定である理由は何か？
• RQ5 離散スペクトルから連続スペクトルへの減衰の欠如が、小スケール解の長時間的挙動に与える影響は何か？

主な発見

• すべての $ n \in \mathbb{Z} $ に対して $ e_1 + n(e_2 - e_1) \notin [0,4] $ を満たす非共鳴条件の下で、DNLS に対して整数格子 ℤ 上に小スケールの準周期的解の2パラメータ族が存在し、解は振幅パrameter $ z_1, z_2 $ に関して解析的である。
• すべての DNLS の小スケール解は、$ t \to \infty $ のとき $ l^\infty $ でゼロに収束する分散波と、そのような準周期的解の一つに漸近的に分離する。
• 時間周期的である非線形境界状態 $ \phi_j(z_j) $ は不安定である。なぜなら、それらはダイナミクスの吸引子ではないためであり、代わりに系は準周期的解の2次元族に近づくからである。
• 2つのモードを結合する摂動 $ \psi(z_1,z_2) $ は実解析的であり、$ \|\psi(z_1,z_2)\|_{l^{a_1}_e} \lesssim |z_1|^6 + |z_2|^6 $ を満たすため、弱い結合性が示唆される。
• 周波数補正 $ \varepsilon_j(|z_1|^2, |z_2|^2) $ は実解析的であり、$ |\varepsilon_j| \lesssim |z_1|^6 + |z_2|^6 $ を満たすため、解の準周期的性が保証される。
• 励起状態を含むすべての小スケール非線形境界状態は不安定であり、近傍の解を引き寄せる吸引子ではない。代わりに、解は2次元の準周期的解族に引き寄せられる。