[論文レビュー] Existence and Blowup Behavior of Global Strong Solutions to the Two-Dimensional Baratropic Compressible Navier-Stokes System with Vacuum and Large Initial Data

Xiangdi Huang, Jing Li|arXiv (Cornell University)|May 24, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 17被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、体積粘性係数が $\lambda = \rho^\beta$ で $\beta > 4/3$ である条件下で、真空および大規模な初期データを伴う2次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対する強い解の全域的存在および大時間挙動を確立する。既存の結果が $\beta > 3$ を要件としていたのを改善し、密度の時間に依存しない上界を示し、解が時間とともに定常状態に収束することを示す。

ABSTRACT

For periodic initial data with initial density allowed to vanish, we establish the global existence of strong and weak solutions for the two-dimensional compressible Navier-Stokes equations with no restrictions on the size of initial data provided the bulk viscosity coefficient is $λ= ρ^β$ with $β>4/3$. These results generalize and improve the previous ones due to Vaigant-Kazhikhov([Sib. Math. J. (1995), 36(6), 1283-1316]) which requires $β>3$. Moreover, both the uniform upper bound of the density and the large-time behavior of the strong and weak solutions are also obtained.

研究の動機と目的

• 真空および大規模な初期データを伴う2次元バロトロピック圧縮性ナビエ＝ストークス系に対する強い解の全域的存在を確立すること。
• 体積粘性係数の指数 $\beta$ に対する条件を、既存の結果の $\beta > 3$ から $\beta > 4/3$ に緩和すること。
• 解に対して $\beta > 3/2$ および $1 < \gamma < 3(\beta - 1)$ の下で、時間に依存しない密度の上界を導出すること。
• 強い解および弱い解の大時間挙動を解析し、定常状態への収束を示すこと。
• 初期密度がゼロとなる場合および初期エネルギーが大きい場合を含む、全域的強い解理論の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 真空中に解の成長を制御するために、エネルギー推定と重み付き $L^p$-ノルムを用いる。
• パrameter $\delta$ を用いて系を正則化し、近似解 $\rho^\delta, u^\delta$ を構成する方法を採用する。
• 密度と圧力の輸送方程式を用いて、$P(\rho) - \overline{P(\rho)}$ の $L^2$-ノルムに関する境界を導出する。
• 渇き（vorticity）$\omega = \partial_1 u^2 - \partial_2 u^1$ と歪みテンソル $G$ を用いて、速度勾配を制御する。
• グローワル型不等式を用いて、時間に依存しない $\|P(\rho) - \overline{P}\|_{L^2}$、$\|G\|_{L^2}$、$\|\omega\|_{L^2}$ の有界性を確立する。
• $\delta \to 0$ の極限に移行するため、コンパクト性の議論と弱収束を適用し、全域的強い解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 真空および大規模な初期データを伴う2次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、$\beta > 4/3$ の下で全域的強い解が存在可能か？
• RQ2 真空および大規模な初期データの下で、密度および速度場の大時間挙動はいかなるものか？
• RQ3 $\beta$ の条件を緩和した下で、全域的強い解に対して密度の時間に依存しない上界を確立できるか？
• RQ4 圧力フラクチュエーション、渇き、歪みテンソルの $L^2$-ノルムは、長時間にわたりどのように振る舞うか？
• RQ5 与えられた条件下で、$t \to \infty$ のとき解は定常平衡状態に収束するか？

主な発見

• 真空および大規模な初期データを伴う2次元圧縮性ナビエ＝ストークス系に対して、$\beta > 4/3$ の下で全域的強い解が存在する。
• $\beta > 3/2$ および $1 < \gamma < 3(\beta - 1)$ の下で、時間に依存しない密度の上界が確立され、その上界は時間に依存しない。
• 任意の $p \in [1, \infty)$ に対して $\lim_{t \to \infty} \|\rho(\cdot,t) - \bar{\rho}_0\|_{L^p} = 0$ を満たし、初期平均密度への収束を示す。
• 圧力フラクチュエーション $P(\rho) - \overline{P}$、渇き $\omega$、歪みテンソル $G$ の $L^2$-ノルムはすべて $t \to \infty$ のときゼロに収束する。
• 速度勾配 $\nabla u$ に対して $\lim_{t \to \infty} \|\nabla u\|_{L^2} = 0$ が成り立ち、速度勾配の時間的減衰を示す。
• $t \to \infty$ のとき、圧力 $P(\rho)$ は $L^2$-ノルムで定数状態 $\rho_s^\gamma$ に収束し、$\rho_s$ は平均圧力の極限である。