[論文レビュー] Existence and computation of Riemann-Stieltjes integrals through Riemann integrals

Rodrigo López Pouso|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2011

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有界関数のリーマン–スティルチェス積分の存在および計算に関する必要十分条件を、リーマン積分を用いて確立する。G がリーマン可積分関数 g の不定リーマン積分であるとき、f が G に関してリーマン–スティルチェス可積分であることの必要十分条件は、積 fg がリーマン可積分であることである。このとき、リーマン–スティルチェス積分は fg のリーマン積分に等しい。

ABSTRACT

We study the existence of Riemann-Stieltjes integrals of bounded functions against a given integrator. We are also concerned with the possibility of computing the resulting integrals by means of related Riemann integrals. In particular, we present a new generalization to the well-known formula for continuous integrands and continuously differentiable integrators.

研究の動機と目的

• 与えられた積分器 G に関して、有界関数のリーマン–スティルチェス積分の存在に関する必要十分条件を確立すること。
• G が連続的に微分可能でない場合でも、古典的な公式 \int f\,dG = \int fG'\,dx を一般化すること。
• ルベーグ積分を避けて、リーマン積分理論のみを用いてリーマン–スティルチェス積分を計算する方法を提供すること。
• 被積分関数 f が有界ではあるが、必ずしもリーマン可積分でない場合を扱い、先行研究を一般化すること。
• G がリーマン可積分関数 g の不定積分であるとき、リーマン–スティルチェス積分とリーマン積分の関係を明確にすること。

提案手法

• g が [a,b] 上でリーマン可積分であるとき、積分器を G(x) = c + \int_a^x g(y)\,dy と定義する。
• 混合リーマン和の推定（補題 2.1）を用いて、リーマン–スティルチェス和と fg のリーマン積分との差を評価する。
• リーマン積分のための鋭い平均値定理（定理 1.2）を適用し、g が部分区間上で示す振動を制御する。
• 振動の上限を用いて、リーマン–スティルチェス和の収束と fg のリーマン可積分性の同値性を確立する。
• 必要性を示すために、f が G に関してリーマン–スティルチェス可積分であるならば、fg はリーマン可積分でなければならないことを、ノルムに基づく推定により証明する。
• リーマン–スティルチェス積分の部分積分公式を活用し、対称的可積分性条件（系 3.2）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G が不定リーマン積分であるとき、有界関数 f が積分器 G に関してリーマン–スティルチェス可積分となる条件は何か？
• RQ2 G(x) = c + \int_a^x g(y)\,dy のとき、リーマン–スティルチェス積分 \int_a^b f\,dG は、リーマン積分 \int_a^b fg\,dx として計算できるか？
• RQ3 f が G に関してリーマン–スティルチェス可積分であることと、積 fg のリーマン可積分性との関係は何か？
• RQ4 リーマン–スティルチェス積分がリーマン積分に還元されるために必要な G と f の最小限の正則性は何か？
• RQ5 f と G が両方ともリーマン可積分な密度関数によって定義されるとき、対称的可積分性条件を導出できるか？

主な発見

• 有界関数 f が G(x) = c + \int_a^x g(y)\,dy に関してリーマン–スティルチェス可積分であることの必要十分条件は、積 fg が [a,b] 上でリーマン可積分であることである。
• 条件が成立するとき、リーマン–スティルチェス積分は \int_a^b f\,dG = \int_a^b fg\,dx を満たし、リーマン積分を用いた直接的な計算が可能になる。
• 証明はすべてリーマン積分理論に限定されており、f がルベーグ可測でない場合でさえもルベーグ積分を避ける。
• 古典的な公式 \int f\,dG = \int fG'\,dx は、G' = g が連続的でなくても、g がリーマン可積分である場合にまで一般化される。
• fg がリーマン可積分でない場合、g の振動に関するノルムに基づく推定により、リーマン–スティルチェス可積分性の不成立が示される。
• 系 3.2 は、対称的可積分性条件を確立する：α と β がリーマン可積分であり、一方が不定リーマン積分であるとき、\int \alpha\,d\beta と \int \beta\,d\alpha の両方が存在し、積のリーマン積分に等しい。