[論文レビュー] Existence and concentration of solution for a class of fractional elliptic equation in $\mathbb{R}^N$ via penalization method

Claudianor O. Alves, Olı́mpio H. Miyagaki|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ℝ^N$ における分数階ラプラシアンを含む分数階楕円型方程式に対して、局所的最小値をとるポテンシャル $V(z)$ を取り扱うためにペナルティ法を用いて、正の解の存在および濃縮を確立する。非線形項を変更し、ベッセル核の性質を用いてパラ・サイモン条件を証明することで、パrameter $ε \to 0$ のとき、解が $V$ の最小点に濃縮することを示した。非線形項 $f$ に対しては、臨界的でない成長およびアムブロセッティ＝ラビノウィッツ型の条件を仮定した。主な貢献は、局所的ラプラシアンの場合に用いられたデル・ピーノ＝フェルメールのペナルティ法を、非局所的分数階設定に拡張し、厳密なコンパクト性および収束の議論を含んでいる。

ABSTRACT

In this paper, we study the existence and concentration of positive solution for the following class of fractional elliptic equation $$ ε^{2s} (-Δ)^{s}{u}+V(z)u=f(u)\,\,\, \mbox{in} \,\,\, \mathbb{R}^{N}, $$ where $ε$ is a positive parameter, $f$ has a subcritical growth, $V$ possesses a local minimum, $N > 2s,$ $s \in (0,1),$ and $ (-Δ)^{s}u$ is the fractional laplacian.

研究の動機と目的

• 特異摂動パrameter $\epsilon$ を含む分数階楕円型方程式のクラスに対して、正の解の存在を確立すること。
• パrameter $\epsilon \to 0$ のとき、ポテンシャル $V(z)$ の局所的最小点付近における解の濃縮挙動を分析すること。
• 従来、局所的ラプラシアンの場合に用いられてきたペナルティ法を、非局所的分数階ラプラシアン設定に拡張すること。
• 非局所的文脈において、パラ・サイモン条件の証明および元の問題からの解の回復における分析的課題を克服すること。

提案手法

• 非線形項 $f(u)$ を変更することで、切断構造を持つ補助問題を生成するペナルティ法を適用する。
• 補助問題に関連するエネルギー汎関数を、分数階ソボレフ空間 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 内の変分法を用いて分析する。
• 古典的な局所的ケースの技法に起因する制限を克服するため、エネルギー汎関数に対するパラ・サイモン条件を証明する新しい議論を構築する。
• 解の減衰を制御し、十分に小さな $\epsilon$ に対して補助問題の解が元の方程式を満たすことを保証するために、ベッセル核の性質を用いる。
• 変数変換 $u_\epsilon(x) = v_\epsilon(x/\epsilon, 0)$ を用いて、ペナルティ付き問題の解と元の問題の解を結びつける。
• 解の最大点が $V(x_\epsilon) \to V_0$ を満たす点に収束することを示すことにより、濃縮を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\epsilon > 0$ が十分に小さいとき、$\mathbb{R}^N$ において方程式 $\epsilon^{2s}(-\Delta)^s u + V(z)u = f(u)$ に対して正の解が存在するか？
• RQ2 パrameter $\epsilon \to 0$ のとき、解はポテンシャル $V(z)$ の局所的最小点に濃縮するか？
• RQ3 従来の局所的ケースで用いられたペナルティ法を、非局所的分数階ラプラシアン設定に適応できるか？
• RQ4 非局所的ケースにおいて、パラ・サイモン条件の証明および解の回復に必要な新たな分析的ツールは何か？

主な発見

• $\epsilon_0 > 0$ が存在し、任意の $\epsilon \in (0, \epsilon_0)$ に対して、問題 $(P_\epsilon)$ は $H^s(\mathbb{R}^N)$ 内に正の解 $u_\epsilon$ を有する。
• 解 $u_\epsilon$ のグローバル最大点 $x_\epsilon$ は、$\lim_{\epsilon \to 0} V(x_\epsilon) = V_0$ を満たす。ここで $V_0 = \inf_{z \in \Lambda} V(z)$ であり、$\Lambda$ は $V_0 < \min_{\partial\Lambda} V(z)$ を満たす有界な集合である。
• パrameter $\epsilon \to 0$ のとき、解 $u_\epsilon$ は $V(z)$ の局所的最小点に濃縮する。これは、局所的ケースと同様の濃縮現象を確認したものである。
• 非局所的設定においてエネルギー汎関数に対するパラ・サイモン条件を証明するための新しい証明技法が開発された。これは、従来の局所的ケースで用いられる議論とは異なる。
• ベッセル核の性質から導かれる減衰推定を用いて、十分に小さな $\epsilon$ に対してペナルティ付き問題の解が元の問題を満たすことが示された。
• 非線形項 $f$ はアムブロセッティ＝ラビノウィッツ条件（$\theta F(t) \leq f(t)t$ for $\theta > 2$）を満たし、$t > 0$ で単調増加である。これにより、変分法に必要な成長性および凸性が保証される。