[論文レビュー] Existence and concentration of solution for a class of fractional Hamiltonian systems with subquadratic potential

César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、臨界点理論、特にマウンテンパス定理を用いて、部分的二次のポテンシャルを有する分数階ハミルトニアン系に対して非自明な弱解の存在を確立する。パラメータ λ → ∞ のとき、解は行列 L(t) が消える有限区間 I に集中し、H^α(ℝ) 内で非自明な I 上のディリクレ問題の解に強く収束する。

ABSTRACT

This article study the fractional Hamiltonian systems \begin{eqnarray}\label{00} {_{t}}D_{\infty}^α({_{-\infty}}D_{t}^αu) + λL(t)u = abla W(t, u), \;\;t\in \mathbb{R}, \end{eqnarray} where $α\in (1/2, 1)$, $λ>0$ is a parameter, $L\in C(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{n imes n})$ and $W \in C^{1}(\mathbb{R} imes \mathbb{R}^n, \mathbb{R})$. Unlike most other papers on this problem, we require that $L(t)$ is a positive semi-definite symmetric matrix for all $t\in \mathbb{R}$, that is, $L(t) \equiv 0$ is allowed to occur in some finite interval $\mathbb{I}$ of $\mathbb{R}$. Under some mild assumptions on $W$, we establish the existence of nontrivial weak solution, which vanish on $\mathbb{R} \setminus \mathbb{I}$ as $λ o \infty,$ and converge to $ ilde{u}$ in $H^α(\mathbb{R})$; here $ ilde{u} \in E_{0}^α$ is nontrivial weak solution of the Dirichlet BVP for fractional Hamiltonian systems on the finite interval $\mathbb{I}$.

研究の動機と目的

• 部分的二次ポテンシャルおよびパラメータ λ を有する分数階ハミルトニアン系に対して非自明な弱解の存在を確立すること。
• L(t) が有限区間で消えることを許容する場合に、λ → ∞ のときの解の集中挙動を分析すること。
• 解が L(t) ≡ 0 となる有界区間 I に集中することを証明し、I 上のディリクレ問題の非自明な解に収束することを示すこと。
• L(t) が退化または半正定値なポテンシャル行列を有する系への臨界点理論の適用範囲を拡張すること、特に L(t) = 0 が非自明な区間で成立する場合を含むこと。

提案手法

• 左および右のリーマン＝リーマン＝ヴァイエルシュトラス分数階微分作用素（α ∈ (1/2, 1)）を用いて分数階ハミルトニアン系を定式化すること。
• パラメータ λ および行列 L(t) を含むエネルギー汎関数 I_λ を分数階ソボレフ空間 X_λ 上に定義すること。
• マウンテンパス定理を適用して、λ > Λ のとき、I_λ の非自明な臨界点 u_λ の存在を証明すること。
• 集中・コンパクト性の原理および消える補題を用いて、λ → ∞ のときの解の漸近的挙動を分析すること。
• L(t) ≡ 0 となる閉区間 I において、E_0^α（H^α(ℝ) のコンパクトな台を持つ部分空間）に属する非自明な弱解 ˜u への u_λ の収束を確立すること。
• 一様有界性およびエネルギー推定を用いて、X_λ および L^p(ℝ)（2 ≤ p < ∞）における u_λ から ˜u への強い収束を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的二次ポテンシャルを有する分数階ハミルトニアン系が非自明な弱解を有するための条件は何か？
• RQ2 L(t) が有限区間で消えることを許容する場合、パラメータ λ → ∞ のとき解はどのように振る舞うか？
• RQ3 解が L(t) ≡ 0 となる有界領域に集中するかどうか。もし集中するならば、その極限は何かに収束するか？
• RQ4 L(t) の退化（すなわち、正の測度の集合で L(t) = 0 となること）が解の存在および集中に果たす役割は何か？
• RQ5 極限解 ˜u は、L(t) ≡ 0 となる区間 I 上の非自明な弱解としてのディリクレ問題の解であるか？

主な発見

• λ > Λ のとき、エネルギー汎関数 I_λ は臨界点 u_λ を持ち、これは方程式 (1.1) の非自明な弱解である。
• 解 u_λ は I_λ(u_λ) = c_λ < 0 を満たし、マウンテンパスの幾何的構造により非自明性および存在性が確認される。
• λ → ∞ のとき、解の列 u_λ は X_λ 内で関数 ˜u ∈ E_0^α に強く収束する。この ˜u は区間 I 上のディリクレ問題の非自明な弱解である。
• 極限解 ˜u は区間 I に台を持ち、境界条件がゼロである I 上の分数階オイラー＝ラグランジュ方程式を満たす。
• 収束 u_λ → ˜u は H^α(ℝ) およびすべての 2 ≤ p < ∞ に対して L^p(ℝ) のノルムにおいて成立し、X_λ のノルムにおいても強い収束が成り立つ。
• λ → ∞ のとき、u_λ は ℝ ∖ I 上 almost everywhere で消えることが確認され、L(t) ≡ 0 となる区間 I における集中が裏付けられる。