[論文レビュー] Existence and construction of bipotentials for graphs of multivalued laws

Marius Buliga, Géry de Saxcé+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2006

Contact Mechanics and Variational Inequalities参考文献 15被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、双対な局所凸空間における多価構成則のグラフに対して、双ポテンシャルの存在に関する必要十分条件を確立する。凸ラグランジュ被覆を用いた構成的技法を導入し、ロッカフェラーの超ポテンシャルに関する定理を非関連法則へ一般化する。また、このような被覆を許容するBBグラフは、下界畳み込み構成により双ポテンシャルを有することを証明する。

ABSTRACT

This is a first paper in convex analysis dedicated to the bipotential theory, based on an extension of Fenchel's inequality. Introduced by the second author, bipotentials lead to a succesful new treatment of the constitutive laws of some dissipative materials: frictional contact, non-associated Drucker-Prager model, or Lemaitre plastic ductile damage law. We solve here the problems of existence and construction of a bipotential for a nonsmooth mechanics constitutive law.

研究の動機と目的

• 多価構成則が双ポテンシャルを有するための必要十分条件を特定すること。
• 多価法則のグラフに対する双ポテンシャルを生成する構成的技法を開発すること。
• 凸ラグランジュ被覆を用いて、ロッカフェラーの超ポテンシャルに関する定理を非関連的・暗黙的構成則へ一般化すること。
• BBグラフとその凸ラグランジュ被覆との適合性を通じて、双ポテンシャルの数学的構造を明確化すること。

提案手法

• BBグラフを、凸ラグランジュ被覆を許容するときかつそのときに限り双ポテンシャルを有する多価法則のグラフのクラスとして導入する。
• 凸ラグランジュ被覆を、BBグラフを被覆する最大の循環的単調なグラフの族として定義し、暗黙の凸性条件を満たすものとする。
• 双凸共役対の下界畳み込みとして双ポテンシャルを構成する：$ b(x,y) = \inf_{\lambda \in [0,\infty]} \{ \phi_\lambda(x) + \phi_\lambda^*(y) \} $。
• フェンヒェルの不等式を基盤とし、$ b(x,y) \geq \langle x,y \rangle $ を満たす双ポテンシャルへ一般化する。
• 結果として得られる下界畳み込みが両変数に関して凸であることを保証するため、二重暗黙的凸被覆の概念を適用する。
• コーシーの双ポテンシャル $ b(x,y) = \|x\|\|y\| $ が、この構成から自然に得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多価構成則が双ポテンシャルを有するのはどのような条件下か？
• RQ2 非関連法則の双ポテンシャルに対して、体系的な構成法を開発できるか？
• RQ3 凸ラグランジュ被覆が双ポテンシャルの存在と凸性を保証する役割を果たすのはどのような仕組みか？
• RQ4 凸共役対の下界畳み込みが、凸かつ双凸な双ポテンシャルをどのように得られるか？
• RQ5 BBグラフに対して凸ラグランジュ被覆が存在しない障害は何か？

主な発見

• 多価法則が双ポテンシャルを有するのは、そのグラフがBBグラフであるときかつそのときに限る（定理3.2）。
• BBグラフに対して凸ラグランジュ被覆が存在することは、双ポテンシャルの構成にとって必要かつ十分である（定理6.7）。
• 構成された双ポテンシャルは $ b(x,y) = \inf_{\lambda \in [0,\infty]} \{ \phi_\lambda(x) + \phi_\lambda^*(y) \} $ で与えられ、双凸関数であり、双ポテンシャル不等式を満たす。
• コーシーの双ポテンシャル $ b(x,y) = \|x\|\|y\| $ は、この構成の特別な場合として回復される。
• すべてのBBグラフが凸ラグランジュ被覆を有するわけではない。非シンプレクティックかつ非凸化可能なシンプレクティック変換を用いた反例により、障害が存在することが示された。
• 部分微分を凸ラグランジュ被覆に置き換えることで、ロッカフェラーの超ポテンシャルに関する定理を非関連法則へ一般化する方法が得られた。