[論文レビュー] Existence and continuation of periodic solutions of Newtonian systems

Justyna Fura, Anna Ratajczak+1 more|ArXiv.org|Apr 12, 2006

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、SO(2)-可換勾配写像の次数理論を用いて、非定常周期的解の存在および連続性を確立する。Leray-Schauder次数は、この文脈では消えてしまうという制限を克服するため、SO(2)対称性に関して不変な特殊な次数を用い、平衡点および無限大におけるヘッセ行列とモース指数に関する条件下で、非自明なT周期的解が少なくとも1つ存在することを証明する。

ABSTRACT

In this article we study the existence and the continuation of periodic solutions of autonomous Newtonian systems. To prove the results we apply the infinite-dimensional version of the degree for SO(2)-equivariant gradient operators. Using the results due to Rabier we show that the Leray-Schauder degree is not applicable in the proofs of our theorems, because it vanishes.

研究の動機と目的

• 非定常T周期的解の存在条件を、非共鳴性やモース関数の仮定を必要とせずに確立すること。
• 1パラメータ族のニュートン系における周期的解の連続性理論を構築すること。
• SO(2)-可換設定においてLeray-Schauder次数が失敗することを補うために、SO(2)-可換勾配写像に特化した次数を用いること。
• 平衡点および無限大におけるモース指数とスペクトルデータ(j_k)を用いて解の存在を特徴づけること。
• 共鳴的・退化的系、特にシトニコフ問題や対称ポテンシャルに適用可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• SO(2)-可換勾配写像の無限次元次数（[23, 24]で定義）を用い、SO(2)-不変汎関数の臨界点を分析する。
• 自己随伴フレドホルム作用素のコンパクト摂動に対する適切なSO(2)-可換勾配ホモトピーを構築する。
• 孤立した退化臨界点および無限大における次数を計算し、モース指数とスペクトルデータj_k(V''(p), T)を用いる。
• RabierとWangの結果を用いて、Leray-Schauder次数がこの設定で消えることの正当性を示し、本稿で用いられる特殊な次数理論の必要性を裏付ける。
• 問題を平衡点および無限大におけるヘッセ行列のスペクトル解析に還元し、j_k(V''(p), T)を用いて共鳴モードを数える。
• SO(2)作用を備えたヒルベルト空間上での関数解析的枠組みを用い、周期的解をG不変エネルギー汎関数の臨界点として扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定常T周期的解が、平衡点または無限大で共鳴が生じる場合でも、どのような条件下で存在するか？
• RQ2 SO(2)対称性のためLeray-Schauder次数が消える状況において、周期的解の存在をどのように証明できるか？
• RQ3 1パラメータ族のニュートン系において、非定常T周期的解の連結集合が存在するための条件は何か？
• RQ4 SO(2)-可換勾配写像の次数理論を用いて、共鳴的または退化的状況における周期的解の存在を計算可能か？
• RQ5 平衡点p ∈ {p₁,…,p_q, ∞}におけるモース指数およびスペクトルデータj_k(V''(p), T)は、周期的解の存在をどのように決定するか？

主な発見

• 本稿では、平衡点および無限大におけるモース指数とスペクトルデータj_kの条件下で、系(1.1)に対して非自明なT周期的解が少なくとも1つ存在することを証明する。
• T > π/√2の場合のシトニコフ円形問題に対して、定理5.2.2により非自明なT周期的解が存在することが確立される。
• 例6.1では、原点における共鳴が存在するが、指数とスペクトルデータが定理の条件を満たすため、非自明な2π周期的解が存在することが確認される。
• SO(2)-可換系ではLeray-Schauder次数が消えることが示され、本稿で用いられる特殊な次数理論の必要性が裏付けられる。
• 1パラメータ族(6.4)に対して、定理5.3.1により、適切な指数およびスペクトル条件のもとでλ = 0から出発する非自明なT周期的解の閉じた連結集合が存在することが保証される。
• 例6.5では、T > π/√2の場合に、非自明なT周期的解の2つの連結成分𝒞⁺と𝒞⁻が存在することが証明され、連続性基準を満たす。