[論文レビュー] Existence and continuation of solutions of Hilfer fractional differential equations

D. B. Dhaigude, Sandeep P. Bhairat|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、固定点技法と積分再定式化を用いて、ヒルファ微分方程式の局所的解の存在および解の延長定理を確立する。リプシッツ条件および成長条件の下で、リーマン＝リウビルおよびカプト微分方程式に対する先行研究を統一的に一般化するヒルファ作用素を介して、両者の枠組みを統合することで、両者の中間をとる。

ABSTRACT

In this paper we study the existence and continuation of solution to general fractional differential equation with Hilfer fractional derivative. First we establish new local existence theorems. Then we derive the continuation theorems. With the help of continuation theorems derived in this paper, several global existence results are constructed.

研究の動機と目的

• 一般初期条件を伴うヒルファ分数階微分方程式の局所的解の存在定理を確立すること。
• 区間 [0, ∞) 全体にわたる解への局所解の延長を保証する継続定理を導出すること。
• リーマン＝リウビルおよびカプト分数階方程式に対する既存の結果を、ヒルファ導出の枠組みの下で統合することにより一般化すること。
• 空間 $ C_{1-eta}[0,\infty) $ における解の全局的存在および一意性の十分条件を提供すること。
• 分数階動力学を含む実用的問題における継続定理の適用可能性を示すこと。

提案手法

• リーマン＝リウビルおよびカプト導出の間を補間するヒルファ分数階微分作用素 $ D_{0^+}^{eta,eta} $ を用いて初期値問題を定式化する。
• リーマン＝リウビル分数階積分およびヒルファ導出の定義を用いて、微分方程式を等価な積分方程式に変換する。
• 重み付き空間 $ C_{1-eta}[0,T] $ における固定点定理を適用して、解の局所的存在を証明する。
• 解作用素の連続性および有界性を用いて、任意の有限区間を超えて解を延長する継続定理を導出する。
• 補題 4.2（分数階積分のグロウォール型不等式）を適用して、重み付きノルム $ t^{1-eta}|x(t)| $ を評価し、有限区間における有界性を保証する。
• 解が任意の区間 $[\tau, \nu)$ で有界のままであるならば $ \nu = \infty $ であることを示すことにより、全局的解の存在を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルファ分数階微分方程式の解が局所的に存在する条件は何か？
• RQ2 局所解はどのようにして $[0, \infty)$ 上の全局的解に拡張できるか？
• RQ3 ヒルファ導出に対する継続定理は、リーマン＝リウビルおよびカプト導出に対するそれらをどのように一般化するか？
• RQ4 どのような成長またはリプシッツ条件が、$ C_{1-eta}[0,\infty) $ 内での解の全局的存在および一意性を保証するか？
• RQ5 ヒルファ導出は、 viscoelastic 材料のモデル化におけるカプトおよびリーマン＝リウビル導出の物理的不整合をどのように解消するか？

主な発見

• 重み付き空間 $ C_{1-eta}[0,T] $ における固定点論法を用いて、ヒルファ分数階 IVP の局所的解の存在が確立された。
• 継続定理 2 により、ある $ \tau > 0 $ に対して解が $[\tau, \nu)$ で有界であるならば、$ \nu = \infty $ であることが示され、これは全局的解の存在を意味する。
• 成長条件 $ |f(t,x)| \leq l(t)m(|x|) + p(t) $ および $ m(r) \leq r $ の下で、分数階グロウォール型不等式を用いて、全局的解の存在が証明された。
• リプシッツ条件 $ |f(t,x) - f(t,y)| \leq l(t)|x - y| $ の下で、解が $ C_{1-eta}[0,\infty) $ に属する場合、全局的解の一意性が確立された。
• リーマン＝リウビルおよびカプト IVP に対する先行研究は、それぞれ $ \beta = 0 $ および $ \beta = 1 $ の特別な場合として、本結果の特殊例として回復されるため、本研究はそれらを一般化している。
• 継続定理が、有界解に適用可能な範囲が広いため、従来の結果よりも実用的問題への適用性が高まっていることが示された。