[論文レビュー] Existence and diffusive limit of a two-species kinetic model of chemotaxis

Luís Almeida, Casimir Emako+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2014

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、細胞が共通のキモアトラクトントを放出し、その勾配に応じてランダム・タンブル機構で反応する二種類のキネティックモデルを提案する。弱解の存在を確立し、拡散的極限が二種類のキeller-Segel型の巨視的モデルに収束することを証明することで、多種類の文脈における流体力学的スケーリングの妥当性を検証する。

ABSTRACT

In this paper, we propose a kinetic model describing the collective motion by chemotaxis of two species in interaction emitting the same chemoattractant. Such model can be seen as a generalisation to several species of the Othmer-Dunbar-Alt model which takes into account the run-and-tumble process of bacteria. Existence of weak solutions for this two-species kinetic model is studied and the convergence of its diffusive limit towards a macroscopic model of Keller-Segel type is analysed.

研究の動機と目的

• 共通のキモアトラクトントを放出する二種類の相互作用する種の集団運動を記述するキネティックモデルの構築。
• 提案された二種類のキネティックモデルに対する弱解の存在の確立。
• キネティックモデルの拡散的極限を厳密に分析し、それに対応する巨視的二種類のKeller-Segel系を導出すること。
• 拡散的スケーリング下でキネティック解が巨視的モデルに収束することを示すことにより、流体力学的スケーリング極限の妥当性を検証すること。
• 有界な化学感受性と正定値拡散係数の下で、極限の巨視的系がグローバルに適切に定義されていることを保証すること。

提案手法

• 各種の速度分布関数 $f_i(x,v,t)$ を用いて二種類のキネティックモデルを定式化し、キモアトラクトント $S(x,t)$ の反応拡散方程式と結合する。
• 細胞の再方向化を、tumbling カーネル $T[S](x,v,v',t) = \phi(\partial_t S + v' \cdot \nabla_x S)$ でモデル化する。ここで $\phi$ は減少関数であり、好ましい化学勾配に傾倒することを反映する。
• キネティック方程式に拡散的スケーリング $\varepsilon \to 0$ を適用し、微視的から巨視的ダイナミクスへの極限を記述する小パラメータ $\varepsilon$ を導入する。
• 弱コンパクトネスおよびモーメント法を用いてキネティック方程式の極限を取る。分布関数およびフラックスの弱極限を抽出する。
• フラックス $J_i^\varepsilon = \frac{1}{\varepsilon} \int_V v f_i^\varepsilon \, dv$ の極限 $\varepsilon \to 0$ を特定することで巨視的系を導出する。これにより、ドリフト拡散方程式が得られる。
• エネルギー法とグローヴァルの不等式を用いて巨視的系に対する事前推定を確立し、有界な化学感受性と正定値拡散係数の下で弱解のグローバル存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データが $L^1 \cap L^q$ に属する場合、共通のキモアトラクトントを有する二種類のキネティックキモタクシスモデルは弱解を有するか？
• RQ2 この二種類のキネティックキモタクシスモデルの拡散的極限は、巨視的Keller-Segel型系に厳密に導出可能か？
• RQ3 巨視的モデルにおける有効拡散係数およびキモタクシス的ドリフトの極限表現は、微視的パラメータの観点からどのように表されるか？
• RQ4 巨視的モデルにおける化学感受性 $\chi_i[S]$ および拡散係数 $D_i$ は、キネティックモデルのtumblingカーネルおよび速度空間からどのように導かれるか？
• RQ5 物理的に妥当なパラメータの仮定の下で、巨視的二種類のKeller-Segel系はグローバルに適切に定義されているか？

主な発見

• 初期データおよびtumblingカーネル $T[S]$ に標準的な仮定の下で、二種類のキネティックモデルに対して弱解が存在し、$f_i^{ini} \in L^1 \cap L^q$ を満たす。
• キネティックモデルの拡散的極限は弱収束し、巨視的二種類のKeller-Segel系に収束する。フラックス $J_i^\varepsilon$ は $L^2((0,\tau], L^2_{\text{loc}})$ 内で $\int_V v r_i^0 \, dv$ に収束する。
• 極限の巨視的系は、有効拡散係数 $D_i = \frac{1}{|V|^2 \psi_i} \int_V v \otimes v \, dv$ およびキモタクシス感受性 $\chi_i[S] = -\int_V v \theta_i(v \cdot \nabla S) \frac{dv}{|V|}$ を有するドリフト拡散方程式を特徴とする。
• 巨視的系は弱解の意味でグローバルに適切に定義されており、エネルギー推定とグローヴァルの不等式により $L^q$ および $H^1$ ノルムにおける一様なバインディングが得られる。
• 事前推定により、有界な化学感受性と正定値拡散係数の下で、2次元の場合でさえ有限時間での爆発が生じないことが保証される。
• 導出結果により、巨視的モデルがキネティックモデルの流体力学的極限として自然に導かれることが確認され、集団的キモタクシス行動のモデリングにおけるその有用性が裏付けられる。