[論文レビュー] Existence and examples of quantum isometry group for a class of compact metric spaces

Debashish Goswami|arXiv (Cornell University)|May 28, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、距離を保つホメオモルフィズムを介してユークリッド空間に埋め込めるコンパクトな距離空間—特に、そのような埋め込みが存在するクラス—に対して、普遍的な量子等長群の存在を確立する。これはバニカの有限距離空間に対する理論を一般化したものである。主な結果は、このような量子等長群が普遍的に存在し、特定の距離空間（位相的ジョインによって構成）に対して、ワングの量子置換群 $\mathcal{S}_n^+$ や自由ワループ積 $\mathbb{Z}_2 \ast_w \mathcal{S}_n^+$ と同型であるということである。

ABSTRACT

We formulate a definition of isometric action of a compact quantum group (CQG) on a compact metric space, generalizing Banica's definition for finite metric spaces. For metric spaces $(X,d)$ which can be isometrically embedded in some Euclidean space, we prove the existence of a universal object in the category of the compact quantum groups acting isometrically on $(X,d)$. In fact, our existence theorem applies to a larger class, namely for any compact metric space $(X,d)$ which admits a one-to-one continuous map $f : X aro \IR^n$ for some $n$ such that $d_0(f(x),f(y))=ϕ(d(x,y))$ (where $d_0$ is the Euclidean metric) for some homeomorphism $ϕ$ of $\IR^+$. As concrete examples, we obtain Wang's quantum permutation group $\cls_n^+$ and also the free wreath product of $\IZ_2$ by $\cls_n^+$ as the quantum isometry groups for certain compact connected metric spaces constructed by taking topological joins of intervals in \cite{huang1}.

研究の動機と目的

• コンパクトな量子群（CQG）のコンパクトな距離空間への等長作用の定義を提示し、バニカの有限距離空間に対する研究を拡張する。
• 与えられたコンパクトな距離空間に対して、広いクラスに属するものについて、等長的に作用する普遍的なコンパクト量子群の存在を確立する。
• 位相的ジョインによって構成された特定の連結距離空間について、量子等長群の明示的例を計算する。
• 特定の連結距離空間に対して、量子等長群が真の（非可換な）コンパクト量子群であることを示す。これは古典的群ではない。

提案手法

• ユークリッド空間への連続的かつ距離を保つ写像を介して距離を引き戻すことで、コンパクトな距離空間へのCQGの等長作用を定義する。
• 写像 $f: X \to \mathbb{R}^n$ が一対一連続であり、$d_0(f(x), f(y)) = \phi(d(x,y))$ を満たすような距離空間のクラスを導入する。ここで $\phi$ は $\mathbb{R}^+$ 上のホメオモルフィズムである。これは等長埋め込みの一般化である。
• 等長作用を施すCQGの圏において、行列係数が等長条件およびコアクション公理を満たすように生成される普遍的 $C^*$-代数を用いて、普遍的対象を構成する。
• 普遍性を用いて、量子等長群 $QISO(X,d)$ が普遍的対象であることを示し、その射はすべてこれに因数分解されることを示す。
• 位相的ジョイン $T_n$（$n$ 個の点の）の量子等長群はワングの量子置換群 $\mathcal{S}_n^+$ と同型であり、$T_n'$（$n$ 個の $[-1,1]$ のコピーの）の量子等長群は自由ワループ積 $\mathbb{Z}_2 \ast_w \mathcal{S}_n^+$ と同型であることを証明する。
• 双対性と表現論的技法（特に反対元と生成子の直交性関係の利用）を用い、同型関係を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離を保つホメオモルフィズムを介してユークリッド空間に埋め込めるコンパクトな距離空間に対して、等長的に作用する普遍的なコンパクト量子群が存在するか？
• RQ2 連結で滑らかでない距離空間（例：位相的ジョイン）の量子等長群が、真の非古典的コンパクト量子群（つまり、古典的群ではない）であるか？
• RQ3 距離空間の量子等長群は、$\mathcal{S}_n^+$ や $\mathbb{Z}_2 \ast_w \mathcal{S}_n^+$ といった既知の量子群とどのように関係するか？
• RQ4 有限距離空間の量子等長群は、有限の場合のバニカの量子等長群と同型か？
• RQ5 区間の位相的ジョインによって構成された距離空間の量子等長群は、自由ワループ積として記述可能か？

主な発見

• 位相的ジョイン $n$ 個の点の $QISO(T_n, d)$ の量子等長群は、$n \geq 4$ のとき、ワングの量子置換群 $\mathcal{S}_n^+$ と同型であり、これは真に非可換なコンパクト量子群である。
• 位相的ジョイン $n$ 個の $[-1,1]$ のコピーの $QISO(T_n', d)$ の量子等長群は、$n \geq 2$ のとき、自由ワループ積 $\mathbb{Z}_2 \ast_w \mathcal{S}_n^+$ と同型であり、これは真のコンパクト量子群である。
• 一対一連続写像 $f: X \to \mathbb{R}^n$ が存在し、$d_0(f(x), f(y)) = \phi(d(x,y))$ を満たすようなコンパクトな距離空間に対して、普遍的量子等長群の存在が証明された。ここで $\phi$ は $\mathbb{R}^+$ 上のホメオモルフィズムである。
• この構成はバニカの有限距離空間に対する量子等長群の定義を一般化し、無限大で連結で滑らかでない距離空間の広いクラスへと拡張する。
• 証明は、作用の行列係数によって生成される $C^*$-代数の普遍性に依拠しており、等長条件およびコアクション公理から導かれる関係を用いる。
• 同型関係は、量子群と量子等長群の間の $C^*$-ホモオモルフィズムを用いて確立され、生成子の直交性および自己随伴性、および反対元の性質を用いて関係を検証する。