[論文レビュー] Existence and Exponential Growth of Global Classical Solutions to the Compressible Navier-Stokes Equations with Slip Boundary Conditions in 3D Bounded Domains

Guocai Cai, Jing Li|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 35被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、初期密度に真空を含んでも、有界領域における滑り境界条件を伴う3次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の古典的解の全球的存在および指数的成長を確立する。初期エネルギーが小さい条件下で、エネルギー法を適応し、新たな境界積分推定式を導出することで、古典的解が常に存在することを示し、初期に真空が存在する場合、密度の振動が時間とともに指数関数的に増大することを示した。これは、一般の3次元有界領域における真空を伴う場合の、初めての結果である。

ABSTRACT

We investigate the barotropic compressible Navier-Stokes equations with slip boundary conditions in a three-dimensional (3D) simply connected bounded domain, whose smooth boundary has a finite number of two-dimensional connected components. For any adiabatic exponent bigger than one, after discovering some new estimates on boundary integrals related to the slip boundary condition, we prove that both the weak and classical solutions to the initial-boundary-value problem of this system exist globally in time provided the initial energy is suitably small. Moreover, the density has large oscillations and contains vacuum states. Finally, it is also shown that for the classical solutions, the oscillation of the density will grow unboundedly in the long run with an exponential rate provided vacuum appears (even at a point) initially. This is the first result concerning the global existence of classical solutions to the compressible Navier-Stokes equations with density containing vacuum states initially for general 3D bounded smooth domains.

研究の動機と目的

• 3次元有界領域における滑り境界条件を伴う圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の古典的解の全球的存在を確立すること。
• 初期密度に真空状態を含む場合の古典的解の存在という未解決問題に取り組むこと。
• このような条件下での密度振動の長期的挙動を分析すること。
• 平坦または対称な領域に限らない、一般の滑らかで境界成分が有限個の3次元有界領域への理論の拡張。

提案手法

• 滑り境界条件に起因する境界積分のための新たな推定式の導出。これはエネルギー推定において核となる。
• 初期エネルギーが小さい場合のエネルギー法および高階数推定の適応。真空や大きな振動が存在しても成立する。
• 非単純接続または軸対称領域に対処するため、補題6.1を用いた修正されたコルン型不等式の使用。
• 運動量方程式における非線形項を制御するため、修正された速度場 $ v = \dot{u} + (u \cdot \nabla n) \times u^\perp $ の導入。
• エネルギーノルムの増大を制御するため、ヤングの不等式およびグローヴァル型推定の適用。
• エネルギー推定における強制性を保証するため、境界積分推定に行列 $ B = A + 2D(n) $ を組み込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期密度に真空を含む場合、一般の有界領域における3次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の滑り境界条件付きで、全球的古典的解が存在可能か？
• RQ2 このような解において、密度振動の長期的挙動はいかなるものか？
• RQ3 一般の対称行列 $ A $ を伴う滑り条件に対応するため、境界積分推定式をどのように精緻化できるか？
• RQ4 単純接続でない、または軸対称でない領域に対しても、エネルギー法を拡張可能か？

主な発見

• 初期エネルギーが十分に小さい限り、滑らかで境界成分が有限個の3次元有界領域において、古典的解が常に存在する。
• 初期密度に真空（孤立した点を含む）が存在してもよく、大きな振動が許容される。
• 古典的解において、初期に真空が存在する場合、密度の振動は時間とともに無限に増大し、指数関数的レートで成長する。
• 任意の多項指数 $ \gamma > 1 $ に対して結果が成立し、従来の $ \gamma \geq 9/5 $ または $ \gamma > 3/2 $ に限られる結果を拡張する。
• 非単純接続領域における標準的コルンの不等式の欠如を克服するため、$ B = A + 2D(n) $ を含む修正された境界積分項を導入した。
• 与えられた境界条件のもとで有効な $ H^1 $ ノルムにおけるノルムの新たな同値性を確立することで、エネルギー汎関数の強制性を確立した。