[論文レビュー] Existence and maximal $L^{p}$-regularity of solutions for the porous medium equation on manifolds with conical singularities

Nikolaos Roidos, Elmar Schrohe|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、錐特異性を有する多様体上における多孔質媒体方程式の短時間解について、解の存在、一意性、および最大$L^p$-正則性を確立する。Mellin-Sobolev空間における錐微分作用素の有界虚数力および$R$-セクター性の技法を用いて、データおよび定義域の重みおよび可積分性条件が満たされる場合、解が錐の先端付近で制御された漸近的挙動を示すことを証明する。

ABSTRACT

We consider the porous medium equation on manifolds with conical singularities and show existence, uniqueness and maximal $L^{p}$-regularity of a short time solution. In particular, we obtain information on the short time asymptotics of the solution near the conical point. Our method is based on bounded imaginary powers results for cone differential operators on Mellin-Sobolev spaces and $R$-sectoriality perturbation techniques.

研究の動機と目的

• 錐特異性を有する多様体上における多孔質媒体方程式の解の存在および最大$L^p$-正則性を確立すること。
• 錐点付近における解の短時間漸近的挙動を分析すること。
• ラプラシアンの最大正則性理論を、錐特異性を有する負の順序のMellin-Sobolev空間へ拡張すること。
• 錐微分作用素の文脈において、初期データのトレース空間（補間空間）を制御すること。
• 線形化最大正則性技法を用いて、ClémentとLiの定理を準線形放物型問題に適用すること。

提案手法

• 重み$\gamma$を有する錐の先端における関数空間をモデル化するために、Mellin-Sobolev空間$\mathcal{H}^{s,\gamma}_p(\mathbb{B})$を用いる。
• 最大$L^p$-正則性を保証するため、$\mathcal{H}^{s+2,\gamma+2}_p(\mathbb{B}) \oplus \mathbb{C}$を定義域とするラプラシアンの閉拡張$\underline{\Delta}_s$を構成する。
• 線形化問題に有界虚数力の結果および$R$-セクター性の摂動技法を適用する。
• 係数を凍結した錐的退化作用素に対して、$R$-セクター的リゾルベントをネウマン級数を用いて構成する。
• 補間理論を用いて、トレース空間$Y_{1/q,q}$を$Y_0$上の乗数のバナッハ代数へ埋め込む。
• 線形化作用素の必要条件を満たすことを検証することで、準線形問題にClémentとLiの定理を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 錐特異性を有する多様体上における多孔質媒体方程式に対して、最大$L^p$-正則性を確立できるか？
• RQ2 錐特異性は、解の短時間漸近的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ3 負の順序のMellin-Sobolev空間におけるラプラシアンの最大正則性を保証するための、重み$\gamma$、$p$、$q$に関する条件は何か？
• RQ4 錐微分作用素の文脈において、初期データのトレース空間はどのように特徴付けられるか？
• RQ5 線形化作用素$-u_0^{m-1}\underline{\Delta}$が最大$L^q$-正則性を有するのはどのような条件下か？

主な発見

• すべての$s \in \mathbb{R}$および適切な$\gamma$に対して、$\mathcal{H}^{s+2,\gamma+2}_p(\mathbb{B}) \oplus \mathbb{C}$上にラプラシアンの閉拡張$\underline{\Delta}_s$が存在し、最大$L^p$-正則性を有する。
• $\dim(\mathbb{B}) \neq 3$であり、$\gamma$、$p$、$q$に関する条件を満たす場合、正の初期データ$u_0 \in Y_{1/q,q}$に対して、作用素$-u_0^{m-1}\underline{\Delta}$は最大$L^q$-正則性を有する。
• ある$T > 0$に対して、多孔質媒体方程式の解$u$は、$L^q(0,T; Y_1) \cap W^{1,q}(0,T; Y_0)$に一意的に存在する。
• トレース空間$Y_{1/q,q}$は$Y_0$上の乗数のバナッハ代数へ埋め込まれており、非線形項の必要十分な正則性を保証する。
• 錐特異性は重み付きMellin-Sobolev空間および漸近的空間を用いて取り扱われ、解の先端付近における挙動が明確に制御される。
• $\dim(\mathbb{B}) \geq 1$に対して有効であり、$R$-セクター性および最大正則性を保証するための$\gamma$および$q$に関する明示的な条件が与えられる。