[論文レビュー] Existence and multiplicity for perturbations of an equation involving Hardy inequality and critical Sobolev exponent in the whole R^N

Boumediene Abdellaoui, Veronica Felli+1 more|ArXiv.org|Feb 12, 2003

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$ℝ^N$ 上のクェーシリニア楕円型方程式に対して、ハーディー型ポテンシャルと臨界ソボレフ指数を含む場合の正の解の存在および多重性を確立する。濃縮・コンパクトネスの原則とルステルニク＝シュナイレルマンカテゴリー理論を用いて、解の存在および多重性は、$h(x)$ および $k(x)$ の大きさだけでなく、その形状にも依存することを示しており、$k$ が無限個の局所最大値を持つ場合には無限個の解が存在しうることを示している。

ABSTRACT

In order to obtain solutions to problem $$ {{array}{c} -Δu=\dfrac{A+h(x)} {|x|^2}u+k(x)u^{2^*-1}, x\in {\mathbb R}^N, u>0 \hbox{in}{\mathbb R}^N, {and}u\in {\mathcal D}^{1,2}({\mathbb R}^N), {array}. $$ $h$ and $k$ must be chosen taking into account not only the size of some norm but the shape. Moreover, if $h(x)\equiv 0$, to reach multiplicity of solution, some hypotheses about the local behaviour of $k$ close to the points of maximum are needed.

研究の動機と目的

• $\mathbb{R}^N$ 上の半線形楕円型方程式に対して、ハーディー型ポテンシャルと臨界ソボレフ非線形項を含む場合の正の解の存在および多重性を分析すること。
• 係数 $h(x)$ および $k(x)$ の形状が、$L^\infty$ ノルムを超えて問題の可解性に与える影響を調査すること。
• 変分法および位相的アプローチを統合することで、ハーディー＝ソボレフ方程式の摂動に関する先行研究を拡張すること。
• 特に $k(x)$ が無限個の点で最大値を達成する場合に、複数の正の解が存在するための条件を確立すること。
• ポホジャエフ型の障害が解の存在に与える影響を明らかにし、係数の幾何的性質によってどのように回避可能かを示すこと。

提案手法

• P.L. ライオンズの濃縮・コンパクトネスの原則を用いて、$\mathbb{R}^N$ 上でのコンパクトネスの欠如に対処すること。
• 変分法およびネハリ多様体フレームワークを用いて、関連エネルギー汎関数の臨界点を同定すること。
• ルステルニク＝シュナイレルマンカテゴリー理論を応用し、$k(x)$ が無限個の局所最大値を持つ場合の臨界点の数を推定すること。
• ホモトピーを用いた変形リトラクトの議論を導入し、最大点集合 $\mathcal{C}(k)$ のカテゴリーと解の数との関係を結びつけること。
• あるエネルギー水準未満でパライス＝スモール条件を確立し、パライス＝スモール系列の収束を保証すること。
• アムブロセッティ＝バダーレ法に基づく摂動論法と、Cao-ChabrowskyおよびTarantelloによる精密な推定を組み合わせること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 方程式 $-\Delta u = \frac{A + h(x)}{|x|^2}u + k(x)u^{2^*-1}$ が $\mathbb{R}^N$ で正の解をもつための $h(x)$ および $k(x)$ に関する条件は何か？
• RQ2 $k(x)$ の形状、特にその局所最大値が正の解の多重性にどのように影響するか？
• RQ3 ポホジャエフ型恒等式は解の存在を妨げる要因として果たす役割を果たすが、係数の幾何的性質によってどのように回避可能か？
• RQ4 $k(x)$ の最大点集合のルステルニク＝シュナイレルマンカテゴリーを用いて、解の数を推定できるか？
• RQ5 関連汎関数に対して、あるエネルギー水準未満でパライス＝スモール条件が成立するための条件は何か？

主な発見

• $k \equiv 1$ かつ $h$ が適切な減衰性および符号条件を満たす場合、濃縮・コンパクトネス法により少なくとも1つの正の解が存在する。
• $h \equiv 0$ の場合、$k(x)$ が有限個の点で最大値を達成するとき、$\lambda$ が十分小さい場合には $\text{Card}(\mathcal{C}(k))$ 個以上の解が存在する。
• $k(x)$ が原点の近傍に有限距離内で無限個の局所最大値を有する場合、解の数は、$\delta$-近傍における最大点集合 $\mathcal{C}(k)$ のルステルニク＝シュナイレルマンカテゴリーによって下から抑えられる。
• 特定の例 $k_1(r) = \eta(r)(1 - |\sin(1/(r - 1/2))|^\theta)$ に対して、$\lambda$ が十分小さいとき、任意の $m \in \mathbb{N}$ に対して少なくとも $m$ 個の解が存在する。
• ポホジャエフ型恒等式により、解の存在は大きさだけでなく、$h$ および $k$ の径方向微分にも依存し、形状が重要な要因となることが示された。
• 鋭いソボレフ定数および非線形項の構造に基づく背理法により、すべての解が固定符号を持つことが示された。