[論文レビュー] Existence and mutiplicity of solutions to elliptic equations of fourth order on compact manifolds

Mohammed Benalili|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2007

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、次元 $ n \geq 5 $ のコンパクトなリーマン多様体上における第4階楕円型方程式に対して、符号が変わる非線形項 $ f(x) $ を持つ弱解の存在および多重性を確立する。変分法および濃縮・コンパクトネス技法を用いて、臨界指数 $ N = \frac{2n}{n-4} $ を持つ臨界ケースでは非自明な解が存在し、下臨界ケースでは少なくとも2つの非自明な解が存在することを証明する。係数および $ f $ に適切な条件下で成立する。主な貢献は、エネルギー最小化および弱収束の議論により符号が変わる非線形項を取り扱った点にあり。

ABSTRACT

This paper deals with a fourth order elliptic equation on compact Riemannian manifolds.We establish the existence of solutions to the equation with critical Sobolev growth which is the subject of the first theorem. In the second one, we prove the multiplicity of solutions in the subcritical case.

研究の動機と目的

• 次元 $ n \geq 5 $ のコンパクトなリーマン多様体上における下臨界第4階楕円型方程式に対して、少なくとも2つの非自明な弱解の存在を確立すること。
• 符号が変わる $ f(x) $ を持つ臨界ケースにおける非自明な弱解の存在を証明すること。
• 符号が変わる非線形項を伴う第4階方程式に対して、$ f $ の符号が明確でないという困難を克服するために、変分法を拡張すること。
• 弱収束およびコンパクトネスの議論を用いて、下臨界指数 $ q \to N = \frac{2n}{n-4} $ のときの解の挙動を分析すること。
• ブートストラップ法および Vaugon の手法を用いて、極限解が非自明であり、かつクラス $ C^{4,\alpha} $ であることを示すこと。

提案手法

• 次元 $ n \geq 5 $ のコンパクトな $ n $ 次元多様体上において、Sobolev 空間 $ H_2^2(M) $ を用いて第4階楕円型方程式 $ \Delta^2 u + \nabla^i(a(x)\nabla_i u) + h(x)u = f(x)|u|^{q-2}u $ を定式化すること。
• エネルギー汎関数 $ F_q(u) = \|\Delta u\|_2^2 - \int_M a|\nabla u|^2 dv_g + \int_M h u^2 dv_g - \int_M f |u|^q dv_g $ を定義し、$ L^q $-ノルム制約集合上で最小化することで臨界点を求める。
• 濃縮・コンパクトネスの原理および弱下界半連続性を適用し、$ q \to N $ のときの最小化列の弱極限を抽出する。これにより、$ L^{N/(N-1)} $ 上で収束し、$ H_2 $ 上で弱収束することを保証する。
• 非線形項の有界性と弱収束を示すために、$ \|u_q |u_q|^{q-2}\|_{L^{N/(N-1)}} \leq C \|u_q\|_{H_2}^{N-1} $ であることに着目する。
• 弱収束およびエネルギーの下界半連続性を用いて、最小化列 $ u_q $ の弱極限 $ v $ が臨界方程式 $ \Delta^2 u + \nabla^i(a\nabla_i u) + h u = f |u|^{N-2}u $ を満たすことを証明する。
• 非自明性を示すために $ \int_M f |v|^N dv_g < 0 $ を示し、これにより $ u \neq 0 $ であることを導く。その後、ブートストラップ法を用いて $ C^{4,\alpha} $ 正則性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $ n \geq 5 $ のコンパクトなリーマン多様体上における下臨界第4階楕円型方程式は、非線形項 $ f(x) $ が符号を変える場合に、少なくとも2つの非自明な弱解をもつか？
• RQ2 符号が変わる $ f(x) $ を持つ臨界第4階方程式に対して、下臨界問題への近似を用いて非自明な弱解を構成できるか？
• RQ3 $ f $ が定符号でない場合、特に臨界指数ケースにおいて、$ f $, $ a $, $ h $ にどのような条件を課すと解の存在が保証されるか？
• RQ4 下臨界問題の解 $ u_q $（$ q \to N $）の挙動は、臨界問題の解とどのように関係するか？
• RQ5 臨界方程式の極限解は非自明で滑らかか？また、その正則性は弱解を超えて向上できるか？

主な発見

• 本稿は、$ f $, $ a $, $ h $ に適切な仮定をおくと、下臨界第4階方程式 $ \Delta^2 u + \nabla^i(a\nabla_i u) + h u = f |u|^{q-2}u $（$ 2 < q < N $）に対して、少なくとも2つの異なる非自明な弱解の存在を証明する。
• 臨界ケース $ q = N = \frac{2n}{n-4} $ において、$ f $ が符号を変える場合であっても、非自明な弱解が存在することを確立する。
• 最小化列 $ (u_q) $ の弱極限 $ v $ は臨界方程式を満たし、$ \int_M f |v|^N dv_g < 0 $ を用いて $ u = \left(\frac{N}{2}\right)^{1/(N-2)} v $ が非自明であることが示される。
• 列 $ \mu_{k_q,q} = \inf_{\|u\|_q^q \leq l_q} F_q(u) $ は $ q \to N $ のとき一様に下から有界であり、最小化列の収束を保証する。
• 極限解 $ u $ は、ブートストラップ法および Vaugon の技法を用いて、ある $ \alpha \in (0,1) $ に対してクラス $ C^{4,\alpha} $ であることが示される。
• 証明は、$ \|u_q |u_q|^{q-2}\|_{L^{N/(N-1)}} \leq C \|u_q\|_{H_2}^{N-1} $ であることに依拠しており、これにより $ L^{N/(N-1)} $ 上での有界性および弱収束が保証され、極限への移行が可能になる。