[論文レビュー] Existence and non-existence of skew branes

Serge Tabachnikov, Yu. Tyurina|ArXiv.org|Apr 23, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特性類とホモロジー交叉理論を用いて、平行でない接空間を持つ多様体の埋め込み（スキュー・ブレーン）の存在に対する位相的障害を確立する。閉じた、向き付けられた多様体が余次元2で非ゼロのオイラー標数を持つ場合、少なくとも一対の負に平行な接空間を持つ必要があることを証明し、R^4およびR^{2n+1}における球面やトーラスの明示的な摂動を構成することで、非存在定理が適用される場合でもその存在を示している。

ABSTRACT

Following recent work by Ghomi, Solomon and Tabachnikov, we study geometry and topology of skew branes. A skew brane is a codimension 2 submanifold in affine space such that the tangent spaces at any pair of distinct points are not parallel. We prove that if an oriented closed manifold has a non-zero Euler characteristic $ξ$ then it is not a skew brane; generically, the number of oppositely oriented pairs of parallel tangent spaces is not less than $(ξ^2)/4$. We also construct examples of skew odd-dimensional spheres and skew two-dimensional tori.

研究の動機と目的

• 特性類とホモロジー交叉理論を用いて、平行でない接空間を持つ埋め込み（スキュー・ブレーン）の存在に対する位相的障害を確立すること。
• 閉じた、向き付けられた、埋め込まれた2n次元部分多様体M^{2n} ⊂ R^{2n+2}が非ゼロのオイラー標数を持つ場合、少なくとも一対の負に平行な接空間を持つことを証明すること。
• R^{2n+1}およびR^4におけるスキュー・ブレーンの明示的例を構成すること。特に、標準的な球面S^{2n-1}およびトーラスT^2の摂動を含み、すべての平行な接平面の対を避けること。
• 非存在定理の境界が鋭いかどうかを示すために、1つの二重点を持つR^4内の自己交叉をもつ球面を、負に平行な接空間の対を一切持たない形で構成すること。

提案手法

• 接空間のガウス写像を用いて、向き付けられたグラスマン多様体G_{2n}^+(2n+2)における基本的クラスを関連付け、そのホモロジー類と向きを反転させる対合との交叉を計算する。
• グラスマン多様体上の標準的バンドルの特性類を適用し、ホモロジー交叉数を計算することで、負に平行な接空間の対の数の下界を得る。
• トーラス上の関数をZ_2^2-不変および反対称成分に分解することで、摂動下での接平面を記述する方程式系を解析する。
• 角座標の小さな、適切に選ばれた関数を用いて、R^{2n+1}における標準的球面S^{2n-1}およびR^4における標準的トーラスT^2のパラメトライゼーションを明示的に摂動する。
• εの線形近似において、接平面のプレッカー座標を計算し、接平面の対がいつ平行または負に平行になるかを分析する。
• 摂動関数の一般な選択に対して、平行性を表す方程式系が解を持たないことを示すことにより、摂動された多様体がすべての平行な接平面の対を避けることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^{2n+2}内の閉じた、向き付けられた2n次元部分多様体が、非ゼロのオイラー標数を持つとき、どのような位相的条件下で少なくとも一対の負に平行な接空間を持つ必要があるか？
• RQ2 二次曲面に対して非存在定理が成り立つにもかかわらず、R^{2n+1}内の標準的球面S^{2n-1}を摂動して、すべての平行な接平面の対を避けることは可能か？
• RQ3 R^4内の標準的トーラスT^2を摂動することで、すべての平行な接平面の対（特に負に平行な対）を除去することは可能か？
• RQ4 R^4内の自己交叉をもつ曲面に対して、二重点の代数的数え上げによって与えられる負に平行な接空間対の数の下界は、どの程度鋭いか？
• RQ5 1つの二重点を持つR^4内の自己交叉をもつ球面で、負に平行な接空間の対を一切持たないものは構成可能か？

主な発見

• 非ゼロのオイラー標数χを持つ閉じた、向き付けられた、埋め込まれた多様体M^{2n} ⊂ R^{2n+2}は、少なくとも一対の異なる点で負に平行な接空間を持つ必要がある。
• 一般な場合、負に平行な接空間の対の無順序対の数は、少なくともχ²/4以上である。
• R^{2n+1}内の標準的球面S^{2n-1}の小さなC¹-摂動が存在し、すべての平行な接平面の対を避けることができる。これは、非二次曲面に対してもスキュー・ブレーンの存在を示している。
• R^4内の標準的トーラスT^2の小さな摂動が存在し、すべての平行な接平面の対を避けることができる。これは、新しいスキュー・トーラスの構成である。
• 正確に1つの二重点を持つR^4内の自己交叉をもつ球面で、負に平行な接空間の対を一切持たないものが存在する。これは、定理2の境界が球面の場合に鋭いかどうかを示している。
• R^4における1つの二重点を持つ球面の摂動は、g(α) = sin 2α + sin 4αという関数を用いてパラメトライゼーションを変更することで構成され、これにより、そうでなければ負に平行な接空間を強制する対称性が破られる。