[論文レビュー] Existence and non-existence of the non-central Wishart distributions

Gérard Letac, Hélène Massam|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2011

Point processes and geometric inequalities被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、行列の正定値半定値行列の錐上で非中心 Wishart 分布の存在条件を解明し、$(\det s)^{-p} \exp(\mathrm{tr}(s^{-1}w))$ の形をしたラプラス変換を分析することで、$w$ がランク $k$ の対角行列であることを前提としている。$\mathcal{NCW}(2p,w,\Sigma)$ が存在するための必要十分条件は、$p \in \Lambda_d$ かつ $k \leq 2p$ であり、$p \in \{1/2, 1, \dots, (d-2)/2\}$ のとき、一方で $p \geq (d-1)/2$ のときにはすべての $w$ に対して存在する。さらに、$m(d-1,d,d)$ を明示的に計算し、$m(d-2,d,d)$ および $m(d-2,d-1,d)$ が存在しないことを示した。これらの結果により、長年の予想である Mayerhofer の予想が解決され、先行研究におけるギャップも是正された。

ABSTRACT

The problem considered in this paper is to find when the non-central Wishart distribution, defined on the cone $\bar{\mathcal{P}_d}$ of semi positive definite matrices of order $d$ and with a real valued shape parameter, exists. We reduce this problem to the problem of existence of the measures $m(n,k,d)$ defined on $\bar{\mathcal{P}_d}$ and with Laplace transform $(\det s)^{-n/2}\exp r(s^{-1}w)$ where $n$ is an integer and where $w=\mathrm{diag}(0,...,0,1,...,1)$ has order $d$ and rank $k.$ We compute $m(d-1,d,d)$ and we show that neither $m(d-2,d,d)$ nor $m(d-2,d-1,d)$ exist. This proves a conjecture of E. Mayerhofer.

研究の動機と目的

• 非中心 Wishart 分布 $\mathcal{NCW}(2p,w,\Sigma)$ が正定値半定値行列の錐上に存在する厳密な条件を同定すること。
• 先行研究における長年のギャップを解消し、$p \in \{1/2, 1, \dots, (d-2)/2\}$ のとき $\mathcal{NCW}(2p,w,\Sigma)$ が存在するのは $k \leq 2p$ のときに限ることを証明することで、誤った主張を是正すること。
• 測度 $m(d-1,d,d)$ を明示的に計算し、$m(d-2,d,d)$ および $m(d-2,d-1,d)$ の非存在を確立することで、このような分布の分類を完全にすること。
• 特に臨界ケース $p = (d-1)/2$ において、ゾーン多項式の手法と線形代数を用いて非中心 Wishart 分布の存在に対する厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• 本稿は、$s \in \mathcal{P}_d$ に対して、$\mathbb{E}[e^{-\mathrm{tr}(sX)}] = (\det s)^{-p} \exp(\mathrm{tr}(s^{-1}w))$ の形をしたラプラス変換を分析している。ここで $w = \mathrm{diag}(0,\dots,0,1,\dots,1)$ であり、ランクは $k$ である。
• 上記のラプラス変換を持つ測度 $m(n,k,d)$ を $\overline{\mathcal{P}_d}$ 上に定義し、存在問題をこれらの測度の研究に還元している。
• 著者たちは、特に低次元の場合に注目して、ユークリッドジョルダン代数の性質とゾーン多項式展開を用いてこれらの測度の構造を分析している。
• $p \downarrow (d-1)/2$ の極限において $\mathcal{NCW}(2p,w,\Sigma)$ が $\mathcal{NCW}(d-1,w,\Sigma)$ に収束することを示す極限的議論を適用し、臨界ケースにおける存在性を確立している。
• 主要な技術的道具として、$\mathbb{R}^{d-1}$ のベクトルを対称行列に写像する変換 $G(c_2,\dots,c_d)$ が用いられ、ランク制約の導出および背理法による非存在の証明に利用されている。
• $m(d-2,d,d)$ および $m(d-2,d-1,d)$ の非存在の証明は、測度を $G$ で写像した結果がフルランク $d-1$ を持てないことを示すことで行われ、絶対連続部の要件に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた $p > 0$ およびランク $k$ の $w \in \overline{\mathcal{P}_d}$ に対して、非中心 Wishart 分布 $\mathcal{NCW}(2p,w,\Sigma)$ が存在する条件は何か？
• RQ2 $p \in \{1/2, 1, \dots, (d-2)/2\}$ のとき、$\mathcal{NCW}(2p,w,\Sigma)$ の存在に $k \leq 2p$ のランク制約が必要であるか？
• RQ3 $p \geq (d-1)/2$ のとき、すべての $w$ に対して $\mathcal{NCW}(2p,w,\Sigma)$ が存在するか、特に $p = (d-1)/2$ の臨界ケースも含めて存在するか？
• RQ4 $m(d-1,d,d)$ の明示的形は何か？ 一方で、なぜ $m(d-2,d,d)$ および $m(d-2,d-1,d)$ は存在しないのか？
• RQ5 Mayerhofer が提起した予想、すなわち $\mathrm{rank}(w) \leq 2p$ が存在のための必要条件であるという仮説を、厳密に証明できるか？

主な発見

• 測度 $m(d-1,d,d)$ は存在し、明示的に計算されており、$p = (d-1)/2$ かつ $w$ がフルランクの非中心 Wishart 分布の完全な記述を提供している。
• $m(d-2,d,d)$ および $m(d-2,d-1,d)$ は存在しないことが証明され、$p \in \{1/2, 1, \dots, (d-2)/2\}$ のとき、ランク制約 $k \leq 2p$ が存在の必要条件であることが裏付けられた。
• $p \in \{1/2, 1, \dots, (d-2)/2\}$ のとき、非中心 Wishart 分布 $\mathcal{NCW}(2p,w,\Sigma)$ が存在するための必要十分条件は $\mathrm{rank}(w) \leq 2p$ である。
• $p \geq (d-1)/2$ のとき、すべての $w \in \overline{\mathcal{P}_d}$ に対して、$\mathcal{NCW}(2p,w,\Sigma)$ が存在し、$p = (d-1)/2$ の臨界ケースも極限として存在することが示された。
• Mayerhofer の予想、すなわち $\mathrm{rank}(w) \leq 2p$ が存在のための必要条件であるという仮説が、長年の未解決問題として解決された。
• 線形代数と測度の変換に基づくこの証明手法は、従来の確率過程の手法とは異なり、新規かつ自己完結的なアプローチを提供している。