[論文レビュー] Existence and orbital stability of standing waves for nonlinear Schrödinger systems

Tianxiang Gou, Louis Jeanjean|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$H^1(\mathbb{R}^N)\times H^1(\mathbb{R}^N)$ 上での制約付き最小化を用いて、質量制約付き非線形シュレーディンガー系の定常波解の存在および軌道安定性を確立する。主な貢献は、最小化列が平行移動に関して前コンパクトであることを証明することであり、これは最小化子の存在を示し、局所的well-posednessのもとで、すべての $N \geq 1$ に対して関連する定常波の軌道安定性を意味する。

ABSTRACT

In this paper we investigate the existence of solutions in $H^1(R^N) imes H^1(R^N)$ for nonlinear Schrödinger systems of the form \[ \left\{ \begin{aligned} -Δu_1 &= λ_1 u_1 + μ_1 |u_1|^{p_1 -2}u_1 + r_1β|u_1|^{r_1-2}u_1|u_2|^{r_2}, \\ -Δu_2 &= λ_2 u_2 + μ_2 |u_2|^{p_2 -2}u_2 + r_2 β|u_1|^{r_1}|u_2|^{r_2 -2}u_2, \end{aligned} ight. \] under the constraints \[\int_{R^N}|u_1|^2 \, dx = a_1>0,\quad \int_{R^N}|u_2|^2 \, dx = a_2>0. \] Here $ N \geq 1, β>0, μ_i >0, r_i >1, 2

研究の動機と目的

• 質量制約付きのカップルド非線形シュレーディンガー系の正規化された定常波解の存在を確立すること。
• 関連エネルギー汎関数の最小化列が、平行移動に関して $H^1(\mathbb{R}^N)\times H^1(\mathbb{R}^N)$ で前コンパクトであることを証明すること。
• 初期値問題の局所的well-posednessを仮定したもとで、最小化子から得られる定常波の軌道安定性を示すこと。
• 非線形項および結合パラメータに関する一般条件のもとで、$N \geq 1$ のすべての次元にわたり存在結果を拡張すること。
• 従来の研究で見られる次元依存の制限を避ける、より単純化された前コンパクト性のアプローチを提供すること。

提案手法

• 解は、$L^2$-ノルム制約 $\|u_1\|_2^2 = a_1$, $\|u_2\|_2^2 = a_2$ の下でのエネルギー汎関数 $J(u_1,u_2)$ のグローバル最小化として構成される。
• 最小化列の前コンパクト性は、背理法を用いて証明され、これは、下界汎関数 $m(a_1,a_2)$ の厳密な劣加法性および対称減少再配分を用いる。
• 対称減少再配分を用いて、再配分後の関数のエネルギーが元のものより厳密に小さいことを示し、これは最小性に反する（濃縮が発生しない限り）。
• 証明は、集中・コンパクトネスの原理に依存し、リウヴィル型の議論や次元依存の仮定に依存しない。
• 最小化列の前コンパクト性と、関連する発展系の保存則を組み合わせ、初期データのフローに関する背理法を用いて軌道安定性を導出する。
• この手法は、$N \geq 1$ のすべての次元に一様に適用可能であり、過去の研究が $N=1$ または $N \leq 4$ に制限されていた点を克服する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形シュレーディンガー系の2成分カップルド系において、エネルギー汎関数の制約付き最小化子が存在する条件は何か？
• RQ2 このような系の最小化列が、平行移動に関して $H^1(\mathbb{R}^N)\times H^1(\mathbb{R}^N)$ で前コンパクトであることを示せるか？
• RQ3 最小化列の前コンパクト性が、対応する定常波の軌道安定性を示唆するか？
• RQ4 次元依存の仮定や複雑な関数解析的道具を用いずに、前コンパクト性の結果を確立できるか？
• RQ5 結合構造 $|u_1|^{r_1}|u_2|^{r_2}$ は、解のコンパクトネスおよび安定性特性にどのように影響するか？

主な発見

• すべての $N \geq 1$ に対して、エネルギー汎関数 $J(u_1,u_2)$ の制約付き最小化列 $S(a_1,a_2)$ は、平行移動に関して $H^1(\mathbb{R}^N)\times H^1(\mathbb{R}^N)$ で前コンパクトである。
• 下界 $m(a_1,a_2)$ は厳密な劣加法性を満たす：$0 < b_i < a_i$ に対して $m(a_1,a_2) < m(b_1,b_2) + m(a_1-b_1,a_2-b_2)$ であり、これは前コンパクト性に不可欠である。
• $H^1(\mathbb{R}^N)\times H^1(\mathbb{R}^N)$ に最小化子が存在することが保証され、これらの最小化子は未知のラグランジュ乗数 $\lambda_1, \lambda_2$ を用いた非線形シュレーディンガー系を満たす。
• 発展系の局所的well-posednessを仮定したもとで、定常波解の軌道安定性が確立される。
• 対称減少再配分と、エネルギーの再配分による厳密な減少に基づく、新しい議論を用いることで、次元依存の制限を回避する。
• 条件 $2 < p_i < 2 + \frac{4}{N}$ および $r_1 + r_2 < 2 + \frac{4}{N}$、$\mu_i > 0$, $\beta > 0$, $r_i > 1$ を満たすことで、亜臨界成長が保証される。