[論文レビュー] Existence and regularity for weak solutions for a fluid interacting with a non-linear shell in 3D

Boris Muha, Sebastian Schwarzacher|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 34被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式と非線形コイター膜モデルを結合した3次元流体構造連成問題に対して、弱解の存在および高次の正則性を確立する。著者らは、非散逸的固体項を制御するために流体の散逸効果を活用する新たな解析的手法を導入し、近似に依存しない正則性を保証する前向き推定を導出し、流体構造系における一般化されたアビン＝リオンズのコンパクト性結果を実現する。

ABSTRACT

We study the unsteady incompressible Navier-Stokes equations in three dimensions interacting with a non-linear flexible shell of Koiter type. This leads to a coupled system of non-linear PDEs where the moving part of the boundary is an unknown of the problem. The known existence theory for weak solutions is extended to non-linear Koiter shell models. We introduce a-priori estimates that reveal higher regularity of the shell displacement beyond energy estimates. These are essential for non-linear Koiter shell models, since such shell models are non-convex (w.r.t. terms of highest order). The estimates are obtained by introducing new analytical tools that allow to exploit dissipative effects of the fluid for the (non-dissipative) solid. The regularity result depends on the geometric constitution alone and is independent of the approximation procedure; hence it holds for arbitrary weak solutions. The developed tools are further used to introduce a generalized Aubin-Lions type compactness result suitable for fluid-structure interactions.

研究の動機と目的

• 非線形コイター膜モデルを用いた流体構造連成問題における弱解の既知の存在理論を拡張すること。
• 高次の項に関して非凸性を示すコイター膜モデルの挑戦に直面し、標準的なエネルギー推定が高次の正則性を導けない問題に対処すること。
• 非散逸的固体系における散逸効果を活用する解析的手法を開発すること。
• 近似手法に依存しない、幾何的構造にのみ依存する正則性結果を確立すること。
• 非線形で非凸な固体を有する流体構造連成問題に適した一般化されたアビン＝リオンズのコンパクト性補題を一般化すること。

提案手法

• 標準的なエネルギー境界を越える、膜変位に関する前向き推定を導出することで、より高い正則性を明らかにすること。
• 非散逸的固体系における流体の散逸効果を活用するための新しい解析的技術を導入すること。
• 膜の幾何的構造を用いて、近似手順に依存しない推定を導出すること。
• 非線形で非凸な膜を有する流体構造系に特化した、一般化されたアビン＝リオンズ型のコンパクト性結果を構築すること。
• 境界が未知数である移動境界を有する非線形偏微分方程式系として連成系を定式化すること。
• 関数解析的道具を用いて、コイター膜モデルに起因する非線形性および非凸性を扱うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形コイター膜モデルと移動境界を有する3次元流体構造連成問題に対して、弱解が存在しうるか。
• RQ2 コイターモデルが最高次の項に関して非凸である場合、膜変位の高次の正則性をどのように確立できるか。
• RQ3 流体の散逸を用いて、固体部の非散逸的ダイナミクスを制御できるか。
• RQ4 弱解の正則性が、数値的近似手法ではなく、幾何的性質に依存する程度はどの程度か。
• RQ5 非線形で非凸な固体モデルを有する流体構造連成問題に適した、一般化されたアビン＝リオンズのコンパクト性結果を構築できるか。

主な発見

• 標準的なエネルギー推定を超える、膜変位の高次の正則性を示す前向き推定が得られた。
• 正則性結果は近似手順に依存せず、膜の幾何的構造にのみ依存する。
• 非散逸的固体項を制御するために流体散逸を活用する、新たな解析的手法が開発された。
• 本手法により、非線形コイター膜モデルへの弱解存在理論の拡張が可能となった。
• 非線形で非凸な固体を有する流体構造連成問題に適した、一般化されたアビン＝リオンズのコンパクト性結果が構築された。
• フレームワークは、特定の近似スキームに由来する解に限らず、任意の弱解に適用可能である。