[論文レビュー] Existence and Regularity of Optimal Shapes for Elliptic Operators with Drift

Emmanuel Russ, Baptiste Trey+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 57被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、体積制約およびドリフトノルム制約の下で、ドリフト項を伴う楕円型作用素 $-\Delta + V\cdot\nabla$ の第一固有値に対する最適形状の存在および正則性を確立する。$\gamma$-収束および自由境界技法を用いて、最適領域は $C^{1,\alpha}$ 境界をもち、特異集合のハウスドルフ次元は次元 $d$ に応じて制御可能であり、普遍的な閾値 $d^* \in \{5,6,7\}$ が存在する。

ABSTRACT

This paper is dedicated to the study of shape optimization problems for the first eigenvalue of the elliptic operator with drift L= - Δ + V(x) · ∇ with Dirichlet boundary conditions, where V is a bounded vector field. In the first instance, we prove the existence of a principal eigenvalue λ1(Ω , V) for a bounded quasi-open set Ω which enjoys similar properties to the case of open sets. Then, given m> 0 and τ≥ 0 , we show that the minimum of the following non-variational problem min{λ1(Ω,V):Ω⊂Dquasi-open,|Ω|≤m,‖V‖L∞≤τ}.is achieved, where the box D⊂ Rd is a bounded open set. The existence when V is fixed, as well as when V varies among all the vector fields which are the gradient of a Lipschitz function, are also proved. The second interest and main result of this paper is the regularity of the optimal shape Ω ∗ solving the minimization problem min{λ1(Ω,∇Φ):Ω⊂Dquasi-open,|Ω|≤m},where Φ is a given Lipschitz function on D. We prove that the optimal set Ω ∗ is open and that its topological boundary ∂Ω ∗ is composed of a regular part, which is locally the graph of a C1,α function, and a singular part, which is empty if d< d∗, discrete if d= d∗ and of locally finite Hd-d∗ Hausdorff measure if d> d∗, where d∗∈ { 5 , 6 , 7 } is the smallest dimension at which there exists a global solution to the one-phase free boundary problem with singularities. Moreover, if D is smooth, we prove that, for each x∈ ∂Ω ∗∩ ∂D, ∂Ω ∗ is C1 , 1 / 2 in a neighborhood of x.

研究の動機と目的

• 準開集合 $\Omega$ および有界なドリフト場 $V$ に対して、主固有値 $\lambda_1(\Omega, V)$ の存在を示し、開領域を超えたスペクトル理論への拡張を図ること。
• 体積制約および $L^\infty$ ノルム制約の下で $\lambda_1(\Omega, V)$ を最小化する最適領域 $\Omega^*$ およびドリフト場 $V^*$ の存在を証明すること。
• ドリフト場 $V = \nabla\Phi$（リプシッツポテンシャル $\Phi$）の下で、自由境界 $\partial\Omega^* \cap D$ の正則部分および特異部分の構造を分析すること。
• 最適集合が開集合であり、有界な境界長さを持ち、境界の正則性が環境次元 $d$ に依存することを示し、普遍的な閾値 $d^* \in \{5,6,7\}$ を特定すること。
• 古典的なディリクレラプラシアンの結果をドリフト付きの場合に拡張し、$D$ が $C^{1,1}$ のとき、境界 $\partial D$ に近い部分での境界正則性を $C^{1,1/2}$ まで拡張すること。

提案手法

• $\gamma$-収束および弱い $\gamma$-収束を用いて、固有値汎関数 $\lambda_1(\cdot, V)$ を準開集合のクラスへ連続に拡張すること。
• 変分的手法および内部変動を用いて、固有値最小化問題の最適性条件を導出すること。
• 測度制約付きの自由境界問題を導入し、固有関数 $u$ が $\Omega^*$ 内で $-\Delta u + V\cdot\nabla u = \lambda_1 u$ を満たし、$\partial\Omega^*$ 上で $u=0$ となるように定式化すること。
• ブロウアップ解析および単調性公式を用いて、固有関数が自由境界付近でどのように振る舞うかを研究し、特異集合を分類すること。
• 重み付きのピカール型不等式およびエネルギー密度の二重化推定を用いて、密度の上限および固有関数の非退化性を証明すること。
• エピピエリメトリック不等式の枠組み（[37] の精神に則って）を用いて、低次元では自由境界の $C^{1,\alpha}$ 正則性を確立し、高次元では次元推定を行うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準開集合 $\Omega$ に対して、主固有値 $\lambda_1(\Omega, V)$ は存在し、同様のスペクトル的性質を有するか？
• RQ2 $|\Omega| \leq m$ および $\|V\|_{L^\infty} \leq \tau$ の制約の下で、$\lambda_1(\Omega, V)$ の最小化子 $\Omega^*$ は存在するか？
• RQ3 $V = \nabla\Phi$（リプシッツポテンシャル $\Phi$）の下で、自由境界 $\partial\Omega^* \cap D$ の正則性はいかほどか？
• RQ4 自由境界 $\partial\Omega^* \cap D$ の特異集合の構造は次元 $d$ にどのように依存するか？
• RQ5 $D$ が $C^{1,1}$ のとき、境界 $\partial D$ に近い部分での境界正則性は $\partial D \cap \partial\Omega^*$ においてどのように拡張できるか？

主な発見

• 任意の準開集合 $\Omega \subset D$ および有界ベクトル場 $V$ に対して、主固有値 $\lambda_1(\Omega, V)$ は適切に定義され、実数値をとる。
• $|\Omega| \leq m$ および $\|V\|_{L^\infty} \leq \tau$ の制約の下で、最小化問題 $\min \{ \lambda_1(\Omega, V) : |\Omega| \leq m, \|V\|_{L^\infty} \leq \tau \}$ の解 $(\Omega^*, V^*)$ が準開集合のクラスに存在する。
• $V = \nabla\Phi$（リプシッツ関数 $\Phi$）の下で、最適集合 $\Omega^*$ は開集合であり、有界な境界長さを持つ。
• 自由境界 $\partial\Omega^* \cap D$ は、局所的に $C^{1,\alpha}$ の正則部分と、ハウスドルフ次元が高々 $d - d^*$ である特異部分に分解され、ここで $d^* \in \{5,6,7\}$ は、1相自由境界問題のグローバル特異解を許容する最小次元である。
• $D$ が $C^{1,1}$ のとき、$\partial\Omega^*$ は $\partial D \cap \partial\Omega^*$ の近傍で $C^{1,1/2}$ であり、正則部分には内部正則部分と境界正則部分の両方が含まれる。
• 最適集合 $\Omega^*$ は体積制約を飽和している：$|\Omega^*| = m$ であり、$\lambda_1(\Omega^*, \nabla\Phi)$ に対応する固有関数 $u$ は二重化不等式および非退化性条件を満たし、$D$ 内の任意の点で正の下界密度を持つことが示唆される。