[論文レビュー] Existence and regularity of solution for a Stochastic Cahn-Hilliard/Allen-Cahn equation with unbounded noise diffusion

Dimitra C. Antonopoulou, Geogia Karali+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、乗法的空間時間ホワイトノイズと有界でない拡散係数 σ（|σ(u)| ≤ C(1 + |u|^α) を満たす α ∈ (0, 1/9)）を伴う確率的 Cahn-Hilliard/Allen-Cahn 方程式について、解の存在と経路の正則性を確立する。半群理論とファクタリゼーション法を用いて、解の正則性が初期条件に依存することを証明した。解の軌道は、空間で指数 β ∧ (2 − d)/2、時間で指数 β/4 ∧ (1/2 − d/8) のほぼ確実な Hölder 連続性を示し、従来の結果を有界でない σ にまで拡張した。

ABSTRACT

The Cahn-Hilliard/Allen-Cahn equation with noise is a simplified mean field model of stochastic microscopic dynamics associated with adsorption and desorption-spin flip mechanisms in the context of surface processes. For such an equation we consider a multiplicative space-time white noise with diffusion coefficient of sub-linear growth. Using technics from semigroup theory, we prove existence, and path regularity of stochastic solution depending on that of the initial condition. Our results are also valid for the stochastic Cahn-Hilliard equation with unbounded noise diffusion, for which previous results were established only in the framework of a bounded diffusion coefficient. We prove that the path regularity of stochastic solution depends on that of the initial condition, and are identical to those proved for the stochastic Cahn-Hilliard equation and a bounded noise diffusion coefficient. If the initial condition vanishes, they are strictly less than 2-d/2 in space and 1/2-d/8 in time. As expected from the theory of parabolic operators in the sense of Petrovski, the bi-Laplacian operator seems to be dominant in the combined model.

研究の動機と目的

• 乗法的空間時間ホワイトノイズを伴う確率的 Cahn-Hilliard/Allen-Cahn 方程式の解の存在と経路正則性を確立すること。
• 従来、有界な拡散係数に対してのみ有効であった結果を、部分線形成長を満たす有界でない拡散係数の状況にまで拡張すること。
• 初期条件の正則性と空間次元 d に応じて、解の軌道の正則性を特定すること。
• 組み合わせモデルにおいて、バイラプラシアン作用素が正則性特性を支配することを示し、放物型作用素に関する Petrovskii 理論と整合すること。

提案手法

• ヒルベルト空間フレームワークにおける確率的発展方程式を解析するため、半群理論を用いる。
• ガラーキン近似を用いて近似解を構築し、収束性を確立する。
• 有界でない σ を扱うために、ファクタリゼーション法を適用し、正則性推定値の向上を可能にする。
• バーグシュタインの不等式および Garsia-Rodemich-Rumsey の補題を用いて、モーメント推定値と解の軌道の Hölder 連続性を導出する。
• 解の局所化と σ(un) の成長制御のため、停止時刻 Tn を導入し、条件 (C) および (\tilde{C}_α) の下でモーメントバウンドを適用する。
• 確率的積分 L(x,t) が、λ < 1/2 − d/8 および μ < 2 − d/2 を満たすとき、ほとんど確実に Hölder 空間 Cλ,μ([0,T]×D) に属することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズ拡散係数 σ が有界ではなく部分線形成長を満たす場合に、確率的 Cahn-Hilliard/Allen-Cahn 方程式の解の存在と経路正則性を確立できるか？
• RQ2 解の軌道の正則性は、初期条件 u0 の正則性と空間次元 d にどのように依存するか？
• RQ3 σ がリプシッツ連続かつ部分線形的に成長する場合に、解の最適な Hölder 正則性（空間および時間において）は何か？
• RQ4 放物型理論の予想通り、組み合わせモデルにおいてバイラプラシアン作用素が正則性特性を支配するか？
• RQ5 ファクタリゼーション法は、有界な拡散係数の場合に比べ、経路正則性推定値を改善できるか？

主な発見

• σ および u0 の与えられた仮定の下で、確率的 Cahn-Hilliard/Allen-Cahn 方程式の解はグローバルに存在し、パスワイズ連続である。
• 初期条件 u0 が連続であれば、解の軌道は空間および時間でほとんど確実に連続である。
• u0 が β-Hölder 連続（β ∈ (0,1)）であれば、解の軌道は空間で指数 β ∧ (2 − d)/2、時間で指数 β/4 ∧ (1/2 − d/8) のほぼ確実な Hölder 連続性を示す。
• 初期条件がゼロであれば、解の経路正則性は空間で 2 − d/2 より小さく、時間で 1/2 − d/8 より小さくなる。
• バイラプラシアン作用素が解の正則性特性を支配しており、Petrovskii の放物型作用素理論と整合する。
• 従来の有界な拡散係数に関する研究を、部分線形成長を満たすより一般な有界でない σ の場合にまで拡張した。精密な確率解析技術を用いて実現した。