[論文レビュー] Existence and stability of cylindrical transonic shock solutions under three dimensional perturbations

Shangkun Weng, Zhouping Xin|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2023

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、背景の衝撃波に制限を設けず、流入流および出口圧力の一般な摂動のもとで、3次元円筒型の超音速衝撃波解の存在および非線形安定性を確立する。新しい変形・回転（deformation-curl）分解を用いて、衝撃波の位置と強度を代数的ランキン＝フーゴニォ条件により一意に特定し、傾斜境界条件を伴うポアソン方程式を導出することで、速度、圧力、エントロピー、バーナウイの関数を含むすべての物理量の最適な正則性を達成する。

ABSTRACT

We establish the existence and stability of cylindrical transonic shock solutions under three dimensional perturbations of the incoming flows and the exit pressure without any further restrictions on the background transonic shock solutions. The strength and position of the perturbed transonic shock are completely free and uniquely determined by the incoming flows and the exit pressure. The optimal regularity is obtained for all physical quantities, and the velocity, the Bernoulli's quantity, the entropy and the pressure share the same regularity. The approach is based on the deformation-curl decomposition to the steady Euler system introduced by the authors to decouple the hyperbolic and elliptic modes effectively. However, one of the key elements in application of the deformation-curl decomposition is to find a decomposition of the Rankine-Hugoniot conditions, which shows the mechanism of determining the shock front uniquely by an algebraic equation and also gives an unusual second order differential boundary conditions on the shock front for the first order deformation-curl system. After homogenizing the curl system and introducing a potential function, this unusual condition on the shock front becomes the Poisson equation with homogeneous Neumann boundary condition on the intersection of the shock front and the cylinder walls from which an oblique boundary condition for the potential function can be uniquely derived.

研究の動機と目的

• 流入流および出口圧力の任意の摂動のもとで、3次元円筒型超音速衝撃波解の存在と構造的安定性を確立すること。
• 従来の背景超音速衝撃波解に対する制限を撤廃し、衝撃波の強度と位置を自由かつ一意に決定できること。
• 同じ滑らかさ条件のもとで、速度、圧力、エントロピー、バーナウイの関数といったすべての物理量の最適正則性を達成すること。
• 定常エーラー系の変形・回転分解を用いて、超音速流れの双曲型・楕円型混合性を扱うための新しい枠組みを構築すること。
• ランキン＝フーゴニォ条件から、1階系の変形・回転系における衝撃波面における2階微分境界条件を導出し、ポテンシャル関数の定式化により一意解を得ること。

提案手法

• 定常圧縮流体エーラー系の変形・回転分解を導入し、双曲型モードと楕円型モードを分離する。
• 衝撃波面の位置を暗黙方程式として一意に特定する新しい代数的ランキン＝フーゴニォ条件の定式化を導出する。
• 1階の変形・回転系に対する衝撃波面上の非同様な2階微分境界条件を構築し、その後同次化する。
• ポテンシャル関数を導入し、衝撃波面境界条件を、衝撃波と円筒壁の交線における同次ノイマン条件を伴うポアソン方程式に変換する。
• 衝撃条件からポテンシャル関数の傾斜境界条件を導出し、一意性と正則性を保証する。
• 流入および出口圧力の摂動のもとで、適切な関数空間における不動点定理を適用し、存在性と安定性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元円筒ノズル内の超音速衝撃波解は、流入流および出口圧力の任意の摂動のもとで、存在し、安定性を保つことができるか？
• RQ2 背景解に制限を設けず、境界データから衝撃波面の位置と強度を一意に特定できるか？
• RQ3 このような超音速衝撃波構成における速度、圧力、エントロピー、バーナウイの関数の最適正則性は何か？
• RQ4 ランキン＝フーゴニォ条件をどのように再定式化すれば、1階系に対する衝撃面における2階微分境界条件が得られるか？
• RQ5 変形・回転分解は、3次元幾何構造を有する超音速衝撃波の非線形自由境界問題を扱うために拡張可能か？

主な発見

• 衝撃波面の位置と強度は、流入流および出口圧力によって一意に決定され、背景超音速衝撃波解に制限を設けない。
• 速度、圧力、エントロピー、バーナウイの関数といったすべての物理量が、データから引き継がれる同じ最適正則性を達成する。
• ランキン＝フーゴニォ条件が再定式化され、変形・回転系の解の一意性を保証する衝撃面における2階微分境界条件が得られる。
• 衝撃波面境界条件は、衝撃波と円筒壁の交線における同次ノイマン条件を伴うポアソン方程式に変換され、その結果としてポテンシャル関数の傾斜境界条件が一意に導出される。
• 流入および出口圧力の小さな摂動のもとで、系は一意解を有し、超音速衝撃波構成の非線形安定性が証明される。
• 本手法は、3次元におけるエーラー系の双曲型・楕円型混合性を効果的に扱い、従来の幾何的および構造的仮定の制限を克服した。