[論文レビュー] Existence and stability of screw dislocation configurations with arbitrary net Burgers vector

Thomas Hudson, Christoph Ortner|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2014

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 21被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、線形弾性論からの近似解と逆関数定理を用いて、零温度の平面外格子模型において、任意のネット・バーガースベクトルを有するねじ型不履き配置の存在および局所安定性を確立している。局所的最小解がこれらの弾性近似解の周囲に留まることを示し、不履き核付近での線形弾性論の有効性を検証している。

ABSTRACT

We consider a variational anti-plane lattice model and demonstrate that at zero temperature, there exist locally stable states containing screw dislocations, under conditions on the distance between the dislocations and on the distance between dislocations and the boundary of the crystal. In proving our results, we introduce approximate solutions which are taken from the theory of dislocations in linear elasticity, and use the inverse function theorem to show that local minimisers lie near them. This gives credence to the commonly held intuition that linear elasticity is essentially correct up to a few spacings from the dislocation core.

研究の動機と目的

• 任意のネット・バーガースベクトルを有する格子模型における安定なねじ型不履き配置の存在を厳密に確立すること。
• このような不履きが局所的に安定である条件を分析すること、特に他の不履きとの距離および結晶境界からの距離に注目すること。
• 真の最小解が弾性解に近い位置に位置することを示すことにより、不履き核付近での線形弾性論の有効性を検証すること。
• 不履き配置の文脈において、連続体弾性理論と離散的格子模型の間のギャップを埋めること。

提案手法

• 線形弾性論に基づいてねじ型不履きの近似解を構築する。
• 逆関数定理を適用して、格子エネルギー汎関数の局所的最小解がこれらの弾性近似解の近傍に存在することを示す。
• 安定性を保証するために、不履き同士の距離および不履きと結晶境界との距離に幾何的制約を課す。
• 零温度における離散的平面外格子設定で変分法を用いて不履き配置をモデル化する。
• 摂動の正則性と小ささに依存して、逆関数定理の適用における収束を保証する。
• 弾性解の近傍におけるエネルギー障害が一意的な局所的最小解を有することを示し、安定性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的格子模型において、任意のネット・バーガースベクトルを有する安定なねじ型不履き配置が存在する条件は何か？
• RQ2 不履き核付近で、実際のエネルギー最小解は線形弾性論の予測からどれほど離れているか？
• RQ3 このような配置の局所的安定性を保証するための不履き間隔および境界からの接近度に関する幾何的制約は何か？
• RQ4 線形弾性論は、離散的格子フレームワークにおける不履きの構造をどの程度正確に記述できるか？
• RQ5 逆関数定理を用いて、連続体近似から導かれた不履き解の安定性を厳密に正当化できるか？

主な発見

• 適切な幾何的制約の下で、平面外格子模型において任意のネット・バーガースベクトルを有する安定なねじ型不履き配置が存在する。
• エネルギー汎関数の局所的最小解が、線形弾性論から導かれた近似解に近い位置に存在することが示された。
• 逆関数定理により、これらの配置が弾性近似の周囲で安定であることが厳密に正当化された。
• 結果は、線形弾性論が不履き核から数個の格子定数の範囲で有効であるという物理的直観を支持する。
• 安定性は、不履き同士の距離および不履きと結晶境界との距離が十分に大きいことに依存する。
• この枠組みにより、離散系における不履き構造の予測に線形弾性論が頑健に機能することが確認された。