[論文レビュー] Existence and uniqueness for planar anisotropic and crystalline curvature flow

Antonin Chambolle, Novaga, Matteo|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 50被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、一般の時間依存型の外力項（白 noise や不連続・非有界なものも含む）を伴う平面的異方的・結晶的曲率流れの短時間存在および一意性を確立する。変分的陰解法と滑らかでない異方性への近似を用い、初期曲線の正則性が初期半径にのみ依存する時間にわたって保存されることを示し、従来の結果を滑らかでない・確率的設定へと拡張する。

ABSTRACT

We prove short-time existence of \\phi-regular solutions to the planar anisotropic curvature flow, including the crystalline case, with an additional forcing term possibly unbounded and discontinuous in time, such as for instance a white noise. We also prove uniqueness of such solutions when the anisotropy is smooth and elliptic. The main tools are the use of an implicit variational scheme in order to define the evolution, and the approximation with flows corresponding to regular anisotropies.

研究の動機と目的

• 一般の外力項（白 noise や非有界・不連続なものも含む）を伴う平面的異方的曲率流れに対する $φ$-正則解の短時間存在を確立すること。
• 異方性が滑らかでかつ楕円的である場合に、そのような解の一意性を証明すること。
• 外力項に最小限の正則性仮定をおくことにより、結晶的曲率流れの理論を拡張すること。
• 存在時間の長さが初期曲線の正則性にのみ依存し、外力項の滑らかさとは無関係であることを示すこと。
• 変分的スキームと近似技術を用いて、滑らかでない・結晶的両方の曲率流れを統一的に扱うフレームワークを提供すること。

提案手法

• 著者らは、安定性と近似における収束を保証するため、時間離散化された陰的変分スキームを用いて流れを定義する。
• 一般の異方性を、正則化パrameter $\varepsilon \to 0$ の際に局所一様に収束する滑らかで楕円的なものに近似する。
• 時間離散スキームの解析を通じて、曲線の正則性を制御する $R^\prime W_\varphi$-条件が保存されることを示す。
• 重要な推論として、$\varphi$-符号付き距離関数およびその時間微分に関する推論が得られ、$\partial_t(d_\varphi^E - G) - \mathrm{div}\,z$ が $\lambda |d_\varphi^E|$ で有界であることを示す（$\lambda > 0$ で、$z \in \partial\varphi^\circ(\nabla d_\varphi^E)$）。
• 弱*収束性を $L^\infty$ 内で用い、近似において極限に移行することで、極限が所定の PDE-類似条件を満たすことを保証する。
• 証明は、近似列全体にわたって存在時間が一様に制御されることに依拠しており、これにより一般の異方性の場合への収束が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 白 noise や時間的に不連続・非有界な外力項を伴う平面的異方的曲率流れに対し、短時間存在性を確立できるか？
• RQ2 一般の異方性（結晶的を含む）のもとで、陰的変分スキームが初期曲線の正則性を保つことができるか？
• RQ3 異方性が滑らかで楕円的であっても、外力項が粗い場合に解の一意性が保証されるか？
• RQ4 存在時間の長さは初期曲線の幾何学的性質および正則性にどのように依存するか？
• RQ5 近似とコンパクトネスを用いて、外力項に最小限の仮定をおくことにより、結晶的曲率流れを一般の異方性へと拡張できるか？

主な発見

• 外力項 $G = G_1 + G_2$ を伴う平面的異方的曲率流れに対して、$\varphi$-正則解の短時間存在が証明された。ここで $G_1$ は時間に関して連続、$G_2$ は時間に関して $C^1$ かつ空間に関してリプシッツ連続である。
• 存在時間は外力項の滑らかさとは無関係に、初期半径と初期曲線の正則性にのみ依存する。
• 異方性が滑らかでかつ楕円的である場合に、$\varphi$-正則流れの一意性が確立された。
• 変分スキームの極限は、$\left|\partial_t(d_\varphi^E - G) - \mathrm{div}\,z\right| \leq \lambda |d_\varphi^E|$ a.e. を満たす（$\lambda > 0$、$z \in \partial\varphi^\circ(\nabla d_\varphi^E)$）。この条件により、正しい幾何学的発展が保証される。
• 結晶的ケースは、滑らかな異方性への近似によって取り扱われ、近似列全体にわたって存在時間が一様に制御された。
• 近似流れの収束がハウスドルフ距離および $\varphi$-距離関数の意味で、$R^\prime W_\varphi$-条件を満たす解へと保証された。